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数学问题解答2 0 2 3年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)2 7 0 1 已知1t e,求证:1+t2t+t32t2.(西安市高陵区第一中学 高凯庆 7 1 0 2 0 0)证明 设函数f(x)=as i nx+ac o sx,其中常数a(1,e.有f(x)=as i nxl nac o sx+ac o sxl na(-s i nx)=as i nxac o sxl nac o sxac o sx-s i nxas i nx().对于函数g(t)=tat(-1t1),得g(t)=at-t atl na(at)2=1-tl naat1-l naat0,因此g(t)在-1,1 上递增.当x 0,4|时,s i nx c o sx,所以g(s i nx)g(c o sx),即c o sxac o sxs i nxas i nx,所以 f(x)0,所以f(x)在0,4|上递增,故f(0)f6()f4(),即1+aa12+a322a22,即1+t2t+t32t2.(其中1t e)2 7 0 2 如图,已知等边A B C的边长为1,点D为A B边的中点,M、N分别在线段A C、B C上,且14AM12,MDN=6 0,求证:M CB NMN 1.(江苏省溧阳市光华高级中学 钱德全 2 1 3 3 0 0;江 苏 省 溧 阳 市 永 平 小 学 张 晓 蔚 2 1 3 3 3 3)证明 如图,在等边A B C中,A=B=6 0 .因为MDN=6 0,所以MDA+ND B=1 2 0,又因为MDA+DMA=1 2 0,所以DMA=ND B,所以MADD BN,所以AMB D=MDDN,因为AD=B D,所以AMAD=MDDN,即AMMD=ADDN,因为A=MDN=6 0,所以MADMDN,所以AMD=DMN,即MD平分AMN.因为14AM12,所以MD的 延 长 线 与C B的 延 长 线 必 然 交 于一点,设该点为E,作NFME交A C于F.则AMD=MFN,DMN=MNF,MCMF=E CEN,所以MFN=MNF,所以MF=MN,所以MCMN=E CEN.又因为BNB C,所以BNB CBN+B EB C+B E,即BNB CE CEN,所以B CBNMCMN.因为B C=1,所以MCBNMN0,且a3+b3=1,求证:1a-a()1b-b()(32-132)2.46数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期 (湖北省公安县第一中学 杨先义 4 3 4 3 0 0)证明 以下证明用到如下两个结论(证明略):(1)若x,y 0,x+y=1,则1x-x()1y-y()94.(2)函数f(x)=x+1x在0 x1.(山东寿光教科研中心 张明同 2 6 2 7 0 0;山东寿光第五中学 杨守松 2 6 2 7 0 0)证明 s i n13=133 s i n13,1=133=13612=136s i n6.令f(x)=131xs i nx,x 0,3(),f(x)=xc o sx-s i nx3x20,所以f(x)为减函数,因为13f6(),所以133 s i n13136s i n6,即s i n131.2 0 2 3年2月号问题(来稿请注明出处 编者)2 7 0 6 如图,点C1,C2,C3 是半圆O上三 点,且 满 足A C1+A C2=A C3,B C1+B C3=B C2,记A B C1,A B C2,A B C3的面积依次为S1,S2,S3,求证:S1=S2+S3.(江苏省兴化市教师发展中心教研室 张俊 2 2 5 7 0 0)2 7 0 7 在圆内接四边形A B C D中,A B=a,B C=b,C D=c,DA=d,求证:四边形A B C D的外接圆 半 径R=(a b+c d)(a c+b d)(a d+b c)4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),其中p=a+b+c+d2为半周长.(广东省中山纪念中学 邓启龙 5 2 8 4 5 4)2 7 0 8 已知A B C,过点C作垂线交A B于点D,设A C D=,B C D=,求 证:t a n+t a n+.(北京中学 史嘉 1 0 0 0 2 8)2 7 0 9 如图,A,B是椭圆O:x2a2+y2b2=1(ab 0)长轴的端点,P为椭圆外一点,不在x轴上,线段P A,P B交椭圆分别于点D,C,线段A C,B D相交于Q,线段P Q交椭圆于E,延长P Q交线段A B于F.求证:P E=E F的充要条件是E Q=Q F.(山东省宁阳县第一中学 刘才华 2 7 1 4 0 0)2 7 1 0 在锐角A B C中,求证t a nAt a nB+t a nC2c o sB-C2c o tA2.(天津港职工培训中心 黄兆麟 3 0 0 4 5 6)刊号:I S S N 0 5 8 3-1 4 5 8C N 1 1-2 2 5 4/O 1 全国各地邮局订购代号:2-5 0 1 全年定价:1 2 0.0 0元每期定价:1 0.0 0元