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一次不等式(组)中参数取值范围求解技巧

一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧

　　已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。
　　一、化简不等式（组），比较列式求解
　　例1．若不等式的解集为，求k值。
　　解：化简不等式，得x≤5k，比较已知解集，得，∴。
　　例2．（2001年山东威海市中考题）若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是（ ）。
　　A、m≥3　　　B、m=3　　　C、m<3　　　D、m≤3
　　解：化简不等式组，得，比较已知解集x>3，得3≥m, ∴选D。
　　例3．（2001年重庆市中考题）若不等式组的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_____。
　　解：化简不等式组，得
　　∵ 它的解集是-1<x<1，
　　∴ 也为其解集，比较得 　　
　　∴(a+1)(b-1)=-6.
　　评述：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。
　　二、结合性质、对照求解
　　例4．（2000年江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为，则a的取值范围是（ ）。
　　A、a>0　　　B、a>1　　　C、a<0　　　D、a<1
　　解：对照已知解集，结合不等式性质3得：1-a<0, 即a>1，选B。
　　例5．（2001年湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是（ ）。
　　A、a<3　　　B、a=3　　　C、a>3　　　D、a≥3
　　解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集x>a,得a≥3, ∴选D。
　　变式（2001年重庆市初数赛题）关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，则关于x的不等式ax+b<0的解集为______。
　　三、利用性质，分类求解
　　例6．已知不等式的解集是，求a的取值范围。
　　解：由解集得x-2<0,脱去绝对值号，得
　　。
　　当a-1>0时，得解集与已知解集矛盾；
　　当a-1=0时，化为0·x>0无解；
　　当a-1<0时，得解集与解集等价。
　　∴
　　例7．若不等式组有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。
　　解：化简不等式组，得
　　∵它有解，∴ 5a-6<3aa<3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内。
　　于是分类求解，当x<-1时，得，
　　当x>4时，得4<5a-6a>2。故或2<a<3为所求。
　　评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在a≤x<b 范围内的不等式(组)，也可分x<a或x ≥b 求解。(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。
　　四、借助数轴，分析求解
　　例8．（2000年山东聊城中考题）已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是________。
　　解：化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，
　　如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4<a≤-3。

　　变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a的范围。
　　(2)若上不等式组无整数解，求a的范围。(答：(1)-1<a≤0；(2)a>1)
　　例9．关于y的不等式组 的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。
　　解：化简不等式组，得 　其解集为
　　借助数轴图2得
　　化简得 ,　　 ∴ 。

　　评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点4、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。
　　五、运用消元法，求混台组中参数范围
　　例10. 下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备将三种食品混合成100kg，混合后每kg含硒不低于5个单位含量，含锌不低于4.5个单位含量。要想成本最低，问三种食品各取多少kg?

A
B
C
硒（单位含量/kg）
4
4
6
锌（单位含量/kg）
6
2
4
单位（元/kg）
9
5
10
　　解　设A、B、C三种食品各取x，y，z kg，总价S元。依题意列混合组

　　视S为参数，(1)代入(2)整体消去x+y得：4(100-z)+6z≥500z≥50,
　　(2)+(3)由不等式性质得：10(x+z)+6y≥950,
　　由(1)整体消去(x+z)得: 10(100-y)+6y≥950y≤12.5，
　　再把(1)与(4)联立消去x得：S=900-4y+z≥900+4×(-12.5)+50,即S≥900。
　　∴ 当x=37.5kg, y=12.9kg, z=50kg时，S取最小值900元。
　　评述：由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：由几个方程联立消元，用一个(或多个)未知数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一个或几个未知数范围，再用它们的范围来放缩(求出)参数的范围。
　　涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解。作为变式练习，请同学们解混合组
　　　其中a, n为正整数，x，y为正数。试确定参数n的取值。

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