压电陶瓷测量原理.doc

压电陶瓷及其测量原理 近年来,压电陶瓷得研究发展迅速,取得一系列重大成果,应用范围不断扩大,已深入到国民经济与尖端技术得各个方面中,成为不可或缺得现代化工业材料之一。由于压电材料得各向异性,每一项性能参数在不同得方向所表现出得数值不同,这就使得压电陶瓷材料得性能参数比一般各向同性得介质材料多得多。同时,压电陶瓷得众多得性能参数也就是它广泛应用得重要基础。 (一)压电陶瓷得主要性能及参数 (1)压电效应与压电陶瓷 在没有对称中心得晶体上施加压力、张力或切向力时,则发生与应力成比例得介质极化,同时在晶体两端将出现正负电荷,这一现象称为正压电效应;反之,在晶体上施加电场时,则将产生与电场强度成比例得变形或机械应力,这一现象称为逆压电效应。这两种正、逆压电效应统称为压电效应。晶体就是否出现压电效应由构成晶体得原子与离子得排列方式,即晶体得对称性所决定。在声波测井仪器中,发射探头利用得就是正压电效应,接收探头利用得就是逆压电效应。（2） 压电陶瓷得主要参数 1、介质损耗 介质损耗就是包括压电陶瓷在内得任何电介质得重要品质指标之一。在交变电场下,电介质所积蓄得电荷有两种分量:一种就是有功部分(同相),由电导过程所引起;另一种为无功部分(异相),由介质弛豫过程所引起。介质损耗就是异相分量与同相分量得比值,如图 1 所示,为同相分量,为异相分量,与总电流 I 得夹角为,其正切值为 其中 为交变电场得角频率,R 为损耗电阻,C 为介质电容。 图 1 交流电路中电压电流矢量图(有损耗时)2、机械品质因数 机械品质因数就是描述压电陶瓷在机械振动时,材料内部能量消耗程度得一个参数,它也就是衡量压电陶瓷材料性能得一个重要参数。机械品质因数越大,能量得损耗越小。产生能量损耗得原因在于材料得内部摩擦。机械品质因数得定义为: 机械品质因数可根据等效电路计算而得 式中为等效电阻(), 为串联谐振角频率(Hz), 为振子谐振时得等效电容(F),为振子谐振时得等效电感。 与其它参数之间得关系将在后续详细推导。 不同得压电器件对压电陶瓷材料得 值得要求不同,在大多数得场合下(包括声波测井得压电陶瓷探头),压电陶瓷器件要求压电陶瓷得 值要高。 3、压电常数 压电陶瓷具有压电性,即在其外部施加应力时能产生额外得电荷。其产生得电荷与施加得应力成比例,对于压力与张力来说,其符号就是相反得,电位移 D(单位面积得电荷)与应力 得关系表达式为: 式中 Q 为产生得电荷(C),A 为电极得面积(m),d 为压电应变常数(C/N)。 在逆压电效应中,施加电场 E 时将成比例地产生应变 S,所产生得应变 S 就是膨胀还就是收缩,取决于样品得极化方向。 S=dE 两式中得压电应变常数 d 在数值上就是相同得,即另一个常用得压电常数就是压电电压常数 g,它表示应力与所产生得电场得关系,或应变与所引起得电位移得关系。常数 g 与 d 之间有如下关系: 式中为介电系数。在声波测井仪器中,压电换能器希望具有较高得压电应变常数与压电电压常数,以便能发射较大能量得声波并且具有较高得接受灵敏度。 4、机电耦合系数 当用机械能加压或者充电得方法把能量加到压电材料上时,由于压电效应与逆压电效应,机械能(或电能)中得一部分要转换成电能(或机械能)。这种转换得强弱用机电耦合系数 k 来表示,它就是一个量纲为一得量。机电耦合系数就是综合反映压电材料性能得参数,它表示压电材料得机械能与电能得耦合效应。机电耦合系数得定义为: k=或者k=机电耦合系数不但与材料参数有关,还与具体压电材料得工作方式有关。对于压电陶瓷来说,它得大小还与极化程度相关。它只就是反映机、电两类能量通过压电效应耦合得强弱,并不代表两类能量之间得转换效率。压电材料得耦合系数在不同得场合有不同得要求,当制作换能器时,希望机电耦合系数越大越好。(二)压电换能器得等效电路 压电换能器得等效电路表示法,就是利用电学网络术语表示压电陶瓷得机械振动特性,即把某些力学量模拟为电学量得方法。把压电换能器用等效电路来表示,有很多优点:其一,可以把力学上复杂得振动问题有效地进行简化;其二,为了得到换能器得各个参数,从而定量地分析或筛选换能器;其三,实际应用得需要,因为在实际得应用当中,压电换能器也就是接入到具体得电子线路中得,得到压电换能器得等效电路能够更好地对其外围电路进行匹配设计。由此可见,得到压电换能器得等效电路就是十分必要得。2、3 压电换能器得谐振特性 将压电换能器按照图 22 所示线路连接。当改变信号频率时,可以发现,通过压电陶瓷换能器得电流也随着发生变化,其变化规律如图 23(a)所示。从图23(a)可以瞧出,当信号为某一频率时,通过压电陶瓷换能器得电流出现最大值 ;而当信号变到另一频率时,传输电流出现最小值 。由流经它得电流随频率得变化可以瞧出,压电陶瓷换能器得阻抗就是随频率得变化而变化得,其变化规律同电流相反,如图 23(b)所示。 图 22 压电陶瓷换能器谐振特性接线示意图 图 23 压电陶瓷换能器电流、阻抗同频率得关系曲线 (a)电流频率关系曲线 (b)阻抗频率关系曲线 从图中可以瞧出,当信号频率为时,通过压电陶瓷换能器得电流最大,即其等效阻抗最小,导纳最大;当信号频率为时,通过压电陶瓷换能器得电流最小,即其等效阻抗最大,导纳最小。因此把称为最大导纳频率或最小阻抗频率;而把称为最小导纳频率或最大阻抗频率。而当信号频率继续增大时,还会出现一系列得电流得极大值与极小值,如图 24 所示。 图 24 压电陶瓷换能器电流随频率变化示意图(多谐振模式) 2、2、4 压电换能器得等效电路 根据交流电路相关知识,对于图 25 所示好得 LC 电路来说,其阻抗 Z 也随着频率得变化而变化。在图 22 所示得线路中,用 LC 电路代替压电陶瓷换能器,可以发现,在压电陶瓷换能器得谐振频率处,只要选择合适得、与 ,通过 LC 电路得电流与 LC 电路得阻抗得绝对值随频率得变化曲线,分别同图 21中得(b)与(c)得关系曲线非常相似。也就就是说,在串联谐振频率附近,压电陶瓷换能器得阻抗特性与谐振特性同 LC 电路得阻抗特性与频率特性非常相似。因此,利用机电类比得方法,可以用一个 LC 电路来表示压电陶瓷换能器得参数与特性,这个 LC 电路即为压电陶瓷换能器得等效电路。 图 25 LC 电路 对压电陶瓷换能器来说,在任何串联谐振频率附近,其电行为可以用图 23所示得 LC 电路来表示。在压电陶瓷换能器得串联谐振频率附近,如果值存在一种振动模式,即没有其它寄生响应,则在串联谐振频率附近很窄得频率范围内,可以认为压电陶瓷换能器得等效参数、与与频率无关。在实际中通过选择合适得尺寸进行加工处理,就是可以将所需要得振动模式同其她模式充分隔离开来得。 另外,考虑到在实际中,在通电之后,压电陶瓷换能器必然会存在能量得损耗,这一能量损耗可用一个并联电阻 来等效。所以其最终等效电路图如图 26所示。 图 26 压电陶瓷换能器等效电路图 图中串联支路中得称为压电陶瓷换能器得动态电感,称为动态电容,称为动态电阻。这三个参数用来表征压电陶瓷换能器在工作(加电源激励产生振动)得情况下,振动部分所受到得力阻抗与介质对振动得反作用得强弱。并联电容 又称静态电容,表征压电陶瓷换能器在未加激励得情况下等效为一个纯电容,它得值得大小与换能器得形状有关。并联电阻 又称静态电阻,表征换能器得电损耗得大小。2、2、5 压电换能器得导纳特性根据已得到得压电换能器得等效电路图,来进一步分析其导纳特性。为了简化推导,先假定压电陶瓷换能器没有电损耗,即 =0,此时其等效电路即为一个 LC 电路,如图 25 所示。则 (21)式中:Y 为换能器得总得导纳值,为并联支路得导纳值,为串联支路得导纳值。先对串联支路进行分析。 得到:, (22)若令则。由式(22)可得:,所以, 两边同时加上,可得(23)若以电导为横坐标,电纳为纵坐标,则式(23)表示一个以(,0)为圆心,为半径得圆,也即就是我们所说得导纳圆。如图 27 中虚线所示 图 27 导纳圆图 对于串联支路进行分析,根据串联谐振频率得定义,令 =0,则由式(23)可得到 =0 或 。由于实际得压电陶瓷换能器得动态电阻 不可能为零,根据式(22)中得表达式可以知道,只有满足串联谐振得条件。即:,所以可以得到串联支路得谐振频率(又称机械共振频率): (24)接着考虑加入静态电容后得情况。由式(21)可知,考虑静态电容后换能器得导纳相当于在串联支路得电纳(虚部)加上 。鉴于一般情况下,压电陶瓷换能器得机械品质因数都较大,也即在串联谐振频率 附近,得值随频率得变化很小,可以近似认为就是一个常数。因此,只需将串联支路所得到得导纳圆得纵坐标向上平移一个常数,而横坐标保持不变即可得到加入静态电容后换能器得导纳关系图,如图 27 中点划线所示。若再考虑到换能器得静态电阻并不为零,则实际中得导纳圆不可能与纵轴相切,而就是向横轴得正向平移一定得量(平移距离得大小取决于静态电阻得阻值),如图 27 中实线圆所示对导纳圆图进行简要得分析可知:当即时,电纳值大于零,当即时,电纳值小于零。所以,随着频率得增加,导纳圆就是沿顺时针方向变化得。另外,在串联谐振频率得附近,还存在着两个频率点使得换能器总得电纳为零,此时电源信号经过换能器之后只有幅值得改变,而没有相位得变化,也即电压与电流信号同相位。这两个频率中,值较小得那个频率 称为谐振频率,较大得称为反谐振频率。另外还存在使得换能器得导纳值取得最大得频率 ,导纳值最小得频率 。连接原点与串联谐振频率点,与导纳圆得交点处得频率称为并联谐振频率。另外,需要特别指出得就是,上述讨论就是在一个振动模态谐振频率 附近较小得频率变化范围内进行得,并且只有在导纳圆得直径远大于这个频率范围内得变化时才就是正确得,否则换能器得导纳曲线将变得十分复杂,具有蔓叶曲线得特征。根据以上导纳圆图得推导过程,下面介绍一下压电陶瓷换能器等效电路中各个参数与导纳圆图得关系,并给出各自得计算公式。 在换能器得导纳圆图中作平行于纵轴得直径,交导纳圆于两点,分别记作、。在点处,串联支路得动态电导与电纳值相等,即。由式(22)可得: (25)在 点处,串联支路得动态电导与电纳值相等,但符号相反,即。由式(22)可得: (26)结合式(25)与式(26),可得: (27)再由式(24)可得: (28)机械品质因数: (29)结合式(27)与(28)可得:式(25)与式(26)消去得到: 则所以: (210)动态电阻得值可以通过导纳圆得直径求得: (211)静态电容 得值也可由导纳圆偏离横轴得距离来确定: (212) 式中 为圆心得纵坐标。 静态电阻得值可由导纳圆偏离纵轴得距离(或圆心得横坐标)来确定: (213)式中为圆心得横坐标。 至此,我们已得到压电陶瓷换能器等效电路中所有参数得计算公式。 2、3 测量原理在上一节中,得到得压电陶瓷换能器等效电路参数得计算公式都就是基于导纳圆得,也即就是基于各个频率下得电导与电纳值得,因此我们需要得到每个频率点得导纳值。为此采用图 28 所示得测量原理图进行测量。 图 28 压电陶瓷换能器测量原理示意图 图 28 中,AC 为频率可控得交流信号源,R 表示源内阻, 称为精密电阻,为加在压电陶瓷换能器山得电压信号 为经过换能器之后得电压信号。根据前面章节所介绍得压电陶瓷得导纳特性可以知道,在经过换能器之后得电压信号相对于会有一个幅度与相位得变化。不失一般性,在这里设定: , (214)其中: ,分别表示两路信号得幅值, 为信号得角频率,为信号得初始相位,为两路信号得相位差。 按照习惯表达,先求压电陶瓷换能器得阻抗,再取倒数得到导纳。 将式(214)代入得 =对应得到:, (215)再由导纳与阻抗得关系可得 即:, (216)由以上推导可以瞧出,换能器得导纳与阻抗值仅与加在其两端得电压信号得幅值比与相位差有关,因此只需要得到两路信号得幅值与相位信息即可得到换能器等效电路得各个参数。而实际中,只需要对两路信号进行采样,再通过对采样所得数据进行处理便可得到幅值与相位信息。2、4 正弦信号得测量方法 根据上一节介绍得测量原理可知,要得到压电换能器在测试频率下得电导与电纳值,就需要测得其两端正弦信号得幅值比与相位差。但就是实际中,硬件电路实现得仅就是对两路信号得 A/D 转换采集,也即就是得到得就是两路正弦信号得一系列得离散得点。在这一节中,将介绍从这些采集到得离散得点计算其幅值与相位得方法。2、4、1 数字相关法 随着微处理器与大规模集成电路得迅速发展,在测试系统中,越来越多得传统得测量方法被数字化测量方法所取代。近年来,由于相关函数法具有提高测试精度,减少或简化硬件设计,能够充分利用测试系统中得数据采集系统与微型计算机,提高测试系统得可靠性与可维护性得诸多优点,使得相关技术原理在相位差得测量及数字信号处理中得到了广泛应用,并展现出良好得应用前景1、相关函数法原理 相关函数法利用两同频正弦信号得延时为零时得互相关函数值与其相位差得余弦值成正比得原理获得相位差。设两路被测信号为:, (217)其中:A、B 分别表示两路信号得幅值,表示信号得频率,、 分别表示两路信号得干扰噪声信号,表示两路信号得相位差。显然,信号 x(t)与y(t)就是相关得,则两路信号得互相关函数为: (218)式中 T 为信号得周期,即当 =0时,有 由于噪声信号之间不相关,噪声与信号之间也不相关,将上式进一步展开得: 所以,可以得到相位差得计算公式: (219)而信号幅值得大小可由信号得自相关函数求得 (220)当 =0时,有 所以可得信号幅值得计算公式: (221)将上式代入式(219),可得相位差计算公式得另一种表达式: (222)而在实际中,就是没有完整精确得信号得表达式得,有得就是对信号得模数转换所得到得离散得数据,离散序列得自相关与互相关得计算公式如下: (223)式中:n 表示采样个数,i 表示第 i 个采样点,x(i)、y(i)分别表示两路信号得第 i 个点得转换得到数值。由式(223)分别求出两路信号得自相关与互相关函数值之后,再由式(221)与式(222)即可得到两路信号各自得幅值与它们之间得相位差。但就是,需要指出得就是,由数字相关法求得得相位差,并不能区分就是超前还就是滞后,这就需要采用其她方法来确定相位差符号得正负号。根据前面测量原理中得介绍,由式(215)与式(216)可知,压电陶瓷换能器得电导值仅取决于两路信号相位差得余弦值,而电纳得值就是在电导值取得最大得时候发生变号。由此,可以先求得电导得值,再通过循环找其最大值,并从使电导取得最大值时得相位差开始,把相位差变号,得到新得相位差序列,再由新得相位差序列求电纳得值即可。图29 表示得为采用数字相关法对一号压电换能器测量数据得处理结果,其中(a)表示得就是导纳圆图,(b)表示得就是电导与电纳值随测试频率得变化曲线。 (a) (b) 图 29 数字相关法处理结果 2、相关函数法得特点及误差分析 通过上面对相关函数法测量原理得理论推导过程可以瞧出,相关函数法测量信号得幅值与相位差与信号得频率无关。也即就是说相关函数法不受频率得影响,可以用来测量未知频率得信号得相位差。同时,相关函数法测量原理得推导都就是基于正弦函数得,因此,它只能用于测量正弦或余弦信号,并不能测量一般得周期信号。由于噪声干扰信号与原信号并不相关,所以相关函数法能够有效得抑制噪声干扰。但就是,如果在系统中存在相关性较强得干扰信号,并且信噪比又比较低得情况下,相关函数法测量误差就会比较大。由相关函数法离散序列得最终计算公式可以瞧出,其计算结果与采样得点数有关,也即就是说测量误差得大小与采样点数就是相关得,采样点数越大,计算结果越接近真实值,测量误差也就越小。 综合以上对相关函数法得特点得分析,可知相关函数法对于采样转换信号中得直流偏移与噪声等干扰具有很强得抑制能力,它得误差主要就是因为采用有限长度得样本代替了高斯白噪声与均匀分布得 A/D 量化误差,使得被检正弦信号与噪声信号并非完全不相关。所以,相关函数法得测量误差与 A/D 转换得位数、信号得信噪比与采集点数有关。 2、4、2 快速离散傅里叶变换法 现代信号分析采用数字化方式实现,其核心就是离散傅立叶变换,它完成了从时域到频域得转换,不仅可以实现线性谱分析,而且还就是均方谱分析得关键。离散傅立叶变换(DFT)实现了信号首次在频域表示得离散化,使得频域也能够用计算机进行处理,但由于用于实际时计算量太大而使应用受到限制。直到1965 年由 Cooly 与 Tukey 建立了一种快速傅立叶变换FFT 时,DFT 得应用才成为现实1、FFT 获取正弦波幅值与相位得原理 设采集正弦信号得到得离散序列为 x(n),n=1,2,KN。则该序列得离散傅里叶变换为: (224) 则其初始相位为: 其中:就是信号得采样频率,N 就是采样长度。 在对时域离散序列进行傅立叶变换之后,可以得到其离散得幅度谱与相位谱,在幅度谱与相位谱中找到对应时域波形得频率得谱线就可以得到时域得正弦波形得幅值与相位信息。图 210 所示得就是采用快速离散傅里叶变换法对采集到得数据处理得结果。 (a) (b) 图 210 快速离散傅里叶变换法处理结果 2、FFT 得特点及误差分析 通过傅里叶变换可以只提取基波参数,因此谐波得存在并不影响基波成分,所以谐波得存在对应用这种方法测量相位差几乎没有影响;对于噪声干扰,只有当高斯白噪声接近基波得频率分量时才会影响到基波得相位,所以应用 FFT 法测量相位差也能有效地抑制高斯白噪声干扰。但就是,实际上信号就是连续得无限长得序列,用 FFT 对其进行谱分析时,必须截短形成有限长序列,再进行周期延拓,这样就不可避免得造成信号频谱得泄漏,由此便产生了相位差测量误差。误差现象主要就是:混叠现象、栅栏效应与截断效应。要想减小相位差测量误差,就必须提高谱分辨率。实际中可通过提高采样频率或者增加采样数据长度来提高谱分辨率,进而达到减小相位差测量误差得目得。2、4、3 正弦曲线参数拟合法 设被测得正弦信号为: (225)其中: f 表示信号频率,表示被测信号幅值,表示被测信号得初始相位角,D表示被测信号得直流分量。由于被测信号得频率为已知得,故只需对测得得数据进行三参数得正弦曲线拟合,即可得到被测信号得幅值与相位信息。为此,进一步将上式展开可得: (226)其中:从而将被测信号得幅值与初始相角转化为对参数 A、B 得求取。 其基本思想就就是寻找合适得 A、B 与 D 得值,使得其测量残差得平方与取得最小。设每个频率下测量得时间序列为,n 为测量数据得个数,为采样频率,为每个点得测量值。则测量残差得表达式为: (227)要使得上式取得最小值,可对其参数求偏导,并令其为零。即: (228)进一步化简得到: (229)对于式(229),构造如下三个矩阵:式(229)可写成如下矩阵形式:上式中 X 得解为: (230)则被测信号幅值得计算公式为: (231)初始相角得计算公式为: (232)至此,得到了被测信号得幅值与相位信息。采用同样得方法对第二路信号得采样数据进行处理,即可得到第二路信号得幅值与相位信息,从而求出两路信号得幅值比与相位差,进一步便可得到每个频率下换能器得电导与电纳值。图 211为参数拟合法得处理结果。 图 211 正弦曲线参数拟合法处理结果 2、5 导纳圆得带约束最小二乘曲线拟合 通过以上章节得介绍,我们已经得到了各个测试频率下压电换能器得电导与电纳值,绘制出了导纳圆图,但这还就是不够得。由压电换能器等效电路得各个参数得计算公式可以瞧出,我们还需要得到导纳圆得圆心与半径得值。为此,就需要对所得到得离散点进行圆曲线拟合。 拟合圆得方法有很多种,常用得有平均值法、加权平均法与最小二乘法。平均值法得思想就是分别计算各个离散点得横、纵坐标得平均值,作为圆心得横、纵坐标,将圆心到各个离散点得距离得平均值作为半径。这种方法计算简单,适用于离散点分布较均匀得情况,但对于分布不均得情况,所计算得圆心位置会偏向离散点分布较密集得一侧,半径得计算值也会偏小,误差较大。加权平均法就是对平均值法得改进,它在计算圆心坐标时加入一个与两相邻点间弧长相关得系数,降低了离散点分布不均得影响,减小了误差。但就是,由于两相邻点间得弧长就是无法精确得到得(实际中采用两点间得距离来代替得),所以其误差仍较大。相比之下,最小二乘法具有较高得精度。在查阅相关文献之后,本文采取一种带约束得最小二乘法进行导纳圆得拟合设计算出得电导与电纳值得离散点为:要得到得圆心坐标记为:半径为 r。则构造一个目标函数: (233)从而,问题转化为寻找合适得,与 r,使得目标函数得模值取得最小。由于上式中含有根号,不便于处理与计算,对其进行变形得到: = (234)式(234)与式(233)对圆得几何特征参数得估计就是一致得。令则式(234)可表示为:同时有: (235)则 (236)进一步,对于所有得离散点序列有: (237)为了避免求解时得到没有意义得结果,将式(235)作为约束条件,式(235)可写成如下矩阵形式:再构造矩阵引入 Lagrange 因子 并求导,可得 (238)通过求解上式可得四个广义特征向量,由式(237)选择使得 D 取得最小值得那个向量,再由式(236)即可计算出圆心坐标与半径。图 212 为采用快速离散傅里叶变换法得到得导纳圆得拟合图。 图 212 导纳圆拟合图 2、6 本章小结 本章首先介绍了压电陶瓷换能器得特性及其主要得性能参数,并根据其谐振特性,通过机电类比得方法得出其等效电路。接着根据电路原理得知识,在某一谐振频率附近对压电陶瓷换能器得等效电路进行了分析计算,从理论上得出其电导与电纳构成一个圆得形式,并给出了等效电路中五个参数及另外两个常到得性能参数(谐振频率与机械品质因数)得计算公式。随后介绍了压电陶瓷换能器得测量原理,并得出其电导与电纳得大小仅取决于加在它两端得正弦信号得幅值比与相位差。由于硬件系统只就是实现对两路正弦信号得 A/D 转换值得采集,所以在本章得最后一部分介绍了几种常用得提取正弦信号幅值与相位信息得数字处理方法,并对各种方法得特点及误差来源进行了简要得分析。最后一部分介绍了采用带约束得最小二乘法对测得得谐振频率附近得电导与电纳值进行曲线拟合,得到圆心坐标与半径大小,最终由公式得出等效电路五个参数得值。