5备课资料(332简单线性规划问题).docx

备用习题
1.某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：〔单位：分钟〕

混合
烹调
包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润
分析：找约束条件，建立目标函数.
解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，那么此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界OA：y=0，AB：3x+y-900=0，BC：5x+4y-1 800=0，CD：x+2y-720=0，DO：x=0.
由z=40x+50y,得，它表示斜率为，截距为z[]50的平行直线系，越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值.
解方程组C(120,300).
∴z max=40×120+50×300=19 800,即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元.
点评：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720〔分〕，烹调时间5×120＋4×300＝1 800〔分〕，包装时间3×120＋300＝660〔分〕，这说明该方案已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩〞问题构成了该问题的“松弛〞局部，有待于改进研究.
2.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及本钱如下表：

甲
乙
丙
维生素A〔单位/千克〕
600
700
400
维生素B〔单位/千克〕
800
400
500
本钱〔元/千克〕
11
9
4
某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.〔1〕用x、y表示混合食物本钱C；〔2〕确定x、y、z的值，使本钱最低.
分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.
解:〔1〕依题意x、y、z满足x+y+z=100z=100-x-y.
∴本钱C=11x+9y+4z=7x+5y+400〔元〕.
〔2〕依题意
∵z=100-x-y,
∴
作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.
联立交点A(50,20).
作直线7x+5y+400=C，那么易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋400＝C＝850元.
∴x=50千克，z=30千克时本钱最低.