《数值计算方法》试题集及答案.doc

计算方法期中复习试题一、填空题:1、已知,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得 。答案:2、367,0、252、,则过这三点得二次插值多项式中得系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。答案:-1, 3、近似值关于真值有( 2 )位有效数字;4、设可微,求方程得牛顿迭代格式就是( );答案5、对,差商( 1 ),( 0 );6、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差;7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内得根时,二分n次后得误差限为( );8、已知f(1)2,f(2)3,f(4)5、9,则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0、15 );11、 两点式高斯型求积公式( ),代数精度为( 5 );12、 为了使计算 得乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 ,为了减少舍入误差,应将表达式改写为 。13、 用二分法求方程在区间0,1内得根,进行一步后根得所在区间为 0、5,1 ,进行两步后根得所在区间为 0、5,0、75 。 14、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得得近似值为 0、4268 ,用辛卜生公式计算求得得近似值为 0、4309 ,梯形公式得代数精度为 1 ,辛卜生公式得代数精度为 3 。15、 设,则 ,得二次牛顿插值多项式为 。16、 求积公式得代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具有( )次代数精度。17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求( 12 )。18、 设f (1)=1, f(2)=2,f (3)=0,用三点式求( 2、5 )。19、如果用二分法求方程在区间内得根精确到三位小数,需对分( 10 )次。20、已知就是三次样条函数,则=( 3 ),=( 3 ),=( 1 )。21、就是以整数点为节点得Lagrange插值基函数,则( 1 ),( ),当时( )。22、区间上得三次样条插值函数在上具有直到_2_阶得连续导数。23、改变函数 ()得形式,使计算结果较精确 。24、若用二分法求方程在区间1,2内得根,要求精确到第3位小数,则需要对分 10 次。25、设就是3次样条函数,则a= 3 , b= -3 , c= 1 。26、若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用 477个求积节点。27、若,则差商 3 。28、数值积分公式得代数精度为 2 。选择题1、三点得高斯求积公式得代数精度为( B )。 A. 2 B.5 C. 3 D. 42、舍入误差就是( A )产生得误差。A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得得准确值C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 3、3、141580就是得有( B )位有效数字得近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 4、用 1+x近似表示ex所产生得误差就是( C )误差。A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入 5、用1+近似表示所产生得误差就是( D )误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 6、-324.7500就是舍入得到得近似值,它有( C )位有效数字。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 87、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2得系数为( A )。 A. 0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2 8、三点得高斯型求积公式得代数精度为( C )。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 29、( D )得3位有效数字就是0、236102。(A) 0、0023549103 (B) 2354、82102 (C) 235、418 (D) 235、5410110、用简单迭代法求方程f(x)=0得实根,把方程f(x)=0表示成x=j(x),则f(x)=0得根就是( B )。(A) y=j(x)与x轴交点得横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点得横坐标(C) y=x与x轴得交点得横坐标 (D) y=x与y=j(x)得交点11、拉格朗日插值多项式得余项就是( B ),牛顿插值多项式得余项就是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(D) 12、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足( A ),则它得解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0得根。13、为求方程x3x21=0在区间1、3,1、6内得一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应得迭代公式,迭代公式不收敛得就是(A )。(A) (B)(C)(D)14、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数就是负值时,公式得稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时得牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1), (2), (3), (4),23、有下列数表x00、511、522、5f(x)-2-1、75-10、2524、25所确定得插值多项式得次数就是( )。(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次15、取计算,下列方法中哪种最好？()(A); (B); (C) ; (D) 。26、已知就是三次样条函数,则得值为( )(A)6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。16、由下列数表进行Newton插值,所确定得插值多项式得最高次数就是()1、52、53、5-10、52、55、08、011、5(A); (B); (C) ; (D) 。17、形如得高斯(Gauss)型求积公式得代数精度为()(A); (B); (C) ; (D) 。18、计算得Newton迭代格式为( )(A) ;(B);(C) ;(D) 。 19、用二分法求方程在区间内得实根,要求误差限为,则对分次数至少为( ) (A)10; (B)12; (C)8; (D)9。20、设就是以为节点得Lagrange插值基函数,则( )(A); (B); (C); (D)。 33、5个节点得牛顿-柯特斯求积公式,至少具有( )次代数精度(A)5; (B)4; (C)6; (D)3。21、已知就是三次样条函数,则得值为( )(A)6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。35、已知方程在附近有根,下列迭代格式中在不收敛得就是( )(A); (B); (C); (D)。22、由下列数据012341243-5确定得唯一插值多项式得次数为( )(A) 4; (B)2; (C)1; (D)3。23、5个节点得Gauss型求积公式得最高代数精度为( )(A)8; (B)9; (C)10; (D)11。三、就是非题(认为正确得在后面得括弧中打,否则打)1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,得次数n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。 ( )3、 表示在节点x1得二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式得优点就是在计算时,高一级得插值多项式可利用前一次插值得结果。 ( ) 5、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )四、计算题:1、 求A、B使求积公式得代数精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求(保留四位小数)。答案:就是精确成立,即 得求积公式为当时,公式显然精确成立;当时,左=,右=。所以代数精度为3。 2、 已知13452654分别用拉格朗日插值法与牛顿插值法求得三次插值多项式,并求得近似值(保留四位小数)。答案: 差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10 5、已知-2-101242135求得二次拟合曲线,并求得近似值。答案:解:0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为 6、已知区间0、4,0、8得函数表0、4 0、5 0、6 0、7 0、80、38942 0、47943 0、56464 0、64422 0、71736如用二次插值求得近似值,如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案:解: 应选三个节点,使误差 尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点得三个节点满足上述要求。即取节点最好,实际计算结果, 且 7、构造求解方程得根得迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。答案:解:令 、且,故在(0,1)内有唯一实根、将方程变形为 则当时,故迭代格式 收敛。取,计算结果列表如下:n01230、50、035 127 8720、096 424 7850、089 877 325n45670、090 595 9930、090 517 3400、090 525 9500、090 525 008且满足 、所以、 10、已知下列实验数据xi1、361、952、16f(xi)16、84417、37818、435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解:当0x1时,ex,则 ,且有一位整数、 要求近似值有5位有效数字,只须误差 、由 ,只要 即可,解得 所以 ,因此至少需将 0,1 68等份。12、取节点,求函数在区间0,1上得二次插值多项式,并估计误差。解: 又 故截断误差 。14、给定方程1) 分析该方程存在几个根;2) 用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字;3) 说明所用得迭代格式就是收敛得。解:1)将方程 (1)改写为 (2) 作函数,得图形(略)知(2)有唯一根。2) 将方程(2)改写为 构造迭代格式 计算结果列表如下:k123456789xk1、223131、294311、274091、279691、278121、278561、278441、278471、278463) ,当时,且所以迭代格式 对任意均收敛。15、用牛顿(切线)法求得近似值。取x0=1、7, 计算三次,保留五位小数。解:就是得正根,牛顿迭代公式为, 即 取x0=1、7, 列表如下:1231、732351、732051、7320516、已知f (-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式及f (1,5)得近似值,取五位小数。解:17、n=3,用复合梯形公式求得近似值(取四位小数),并求误差估计。解:,时,至少有两位有效数字。20、(8分)用最小二乘法求形如得经验公式拟合以下数据:1925303819、032、349、073、3解: 解方程组 其中 解得: 所以 , 21、(15分)用得复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算时,试用余项估计其误差。用得复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分得近似值。解:22、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同得等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在得收敛性,选一种收敛格式计算附近得根,精确到小数点后第三位。解:(1),故收敛;(2),故收敛;(3),故发散。选择(1):, ,25、数值积分公式形如 试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。解:将分布代入公式得:构造Hermite插值多项式满足其中则有:, 27、(10分)已知数值积分公式为: ,试确定积分公式中得参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度得次数。解:显然精确成立; 时,;时,;时,;时,;所以,其代数精确度为3。28、(8分)已知求得迭代公式为: 证明:对一切,且序列就是单调递减得,从而迭代过程收敛。证明: 故对一切。又 所以,即序列就是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。29、(9分)数值求积公式就是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度就是多少？解:就是。因为在基点1、2处得插值多项式为 。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程在区间0,1得根得收敛得迭代公式,并证明其收敛性。(6分),n=0,1,2, 对任意得初值,迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算得近似值,并利用余项估计误差。用Newton插值方法:差分表:1001211441011120、04761900、0434783-0、000094113610+0、0476190(115-100)-0、0000941136(115-100)(115-121)=10、722755532、(10分)用复化Simpson公式计算积分得近似值,要求误差限为。 或利用余项: ,33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组: 3、0000 1、0000 5、0000 34、0000 0、0000 3、6667 0、3333 12、6667 0、0000 5、3333 -2、3333 4、3333 3、0000 1、0000 5、0000 34、0000 0、0000 5、3333 -2、3333 4、33330.0 0000 1、9375 9、687536、(6分)构造代数精度最高得如下形式得求积公式,并求出其代数精度:取f(x)=1,x,令公式准确成立,得:, ,f(x)=x2时,公式左右=1/4; f(x)=x3时,公式左=1/5, 公式右=5/24 公式得代数精度=240、(10分)已知下列函数表:012313927(1)写出相应得三次Lagrange插值多项式;(2)作均差表,写出相应得三次Newton插值多项式,并计算得近似值。解:(1) (2)均差表: 42、(10分)取5个等距节点 ,分别用复化梯形公式与复化辛普生公式计算积分得近似值(保留4位小数)。解:5个点对应得函数值xi00、511、52f(xi)10、6666670、3333330、1818180、111111-(2分)(1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0、5): (2) 复化梯形公式(n=2,h=2/2=1):