资源描述
4.3.1等差、等比数列的通项与求和（基础巩固）
一、 教学目标
1、 掌握等差数列、等比数列定义、通项公式和求和公式
2、 掌握等差等比数列的基本量和性质的有关应用
3、 利用基本知识求解数列的有关综合问题
二、知识梳理
1.求通项公式的常见类型
(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式an=求通项.
(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.
(3)由递推关系式求数列的通项公式.
①形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.
②形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.
③形如an+1=pan+q,等式两边同时加转化为等比数列求通项.
2.数列求和的常用方法
(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.
(2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前n项和Sn,其中{an},{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列.
(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.
(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.
(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.
3.数列单调性的常见题型及方法
(1)求最大(小)项时,可利用:①数列的单调性;②函数的单调性;③导数.
(2)求参数范围时,可利用:①作差法;②同号递推法;③先猜后证法.
4.数列不等式问题的解决方法
(1)利用数列(或函数)的单调性.
(2)放缩法:①先求和后放缩;②先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.
一、课前预习
1.(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
命题意图本题考查等比数列的通项公式与前n项和,考查归纳与推理论证能力,考查计算能力.
2.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
命题意图该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,在解题的过程中,认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
3.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
命题意图本题考查等差数列的证明,考查数列的前n项和与项的关系,数列的前n项积与项的关系,其中由,得到,进而得到是关键一步;要熟练掌握前n项和,积与数列的项的关系,消和(积)得到项(或项的递推关系),或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法.
二、课中例析题
例1(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
命题意图掌握证明(或判断)数列是等差(比)数列的四种基本方法
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；=q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列.
(2)等差(比)中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇒{an}是等差数列;=an·an+2(n∈N*)⇒{an}是等比数列.
(3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)⇒{an}是等差数列;an=a1·qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇒{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇒{an}是等差数列;Sn=Aqn-A(A为非零常数,q≠0,1)⇒{an}是等比数列.
[例2] 已知数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列,{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,n≥2时,则( )
A. B. C. D.大小不能确定
命题意图等差、等比数列的通项公式是利用首项与公差、公比来表示,同时还要能用函数的角度来看待它们.
[例3] (2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
命题意图掌握对于数列的交叉递推关系,一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系,再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解.
[例4] (2020·浙江名校协作体考试)已知等比数列{an}中a5=1,若,则a2+a4+a6+a8等于( )
A.4 B.5 C.16 D.25
命题意图掌握等差、等比数列的性质主要是指m+n=p+q,am,an,ap,aq的关系以及结合等差、等比通项、前n项和衍生得到的一些结论.
三、课后巩固题
1.(2020·浙大附中测试)等比数列{an}中,首项是a1,公比是q,则q>1是数列{an}单调递增的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若<-1,则( )
A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,Sn+2=4Sn+3恒成立,则a1的值为( )
A.-3 B.1 C.-3或1 D.1或3
4.一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1等于( )
A.11 B.12 C.13 D.14
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,对n∈N*且n>4时有S8=20,S2n-1-S2n-9=116,则an等于( )
A.6 B. C.39 D.78
6.(2020·浙江名校协作体考试)已知数列{an}为等差数列,公差为d(d≠0),且满足a3a4+2a4a6+a5a12=2 019d,则= .
7.(2020·海宁桐乡月考)等比数列{an}的相邻两项an,an+1是方程x2-2nx+cn=0(n∈N*)的两个实根,记Tn是数列{cn}的前n项和,则Tn= .
8.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=3,an+1=2an+1.
(1)证明:{an+1}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列,说明理由.
9.(2019·全国Ⅱ卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.
10.在等差数列{an}中,a10-a2=16,且a3=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,证明:数列{bn}为等比数列,并求其前n项和Sn.
11.已知数列{an}满足a1=,an+1an=2an+1-1,令bn=an-1.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)设cn=,求证:数列{cn}的前n项和Tn<n+.
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