资源描述
7.1.2 复数的几何意义
[A 基础达标]
1．已知复数z＝a＋a2i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．
2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是( )
A. B.
C．5 D．25
解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.
3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复数z＝( )
A．3－i B.－3i
C．2－i D.－2i
解析：选D.由题意可设复数z＝＋yi(y∈R，y<0)，则＝3，所以y＝－2，复数z＝－2i.故选D.
4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．5 B.
C．2 D．2
解析：选A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，
所以解得所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5，故选A.
5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z＝＋i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是( )
A．－＋i B.－i
C．－＋i D.－i
解析：选C.|OZ|＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z′，所以Z′(cos 150°，sin 150°)＝，则Z′对应的复数是－＋i.
6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．
解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤.
答案：
7．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________．
解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
答案：1＋2i或－1－2i
8．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________．
解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.
答案：5
9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y＝x上．
解：(1)由题意得解得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．
(2)由题意得或
所以m>7或－2<m<3，
此时复数z对应的点位于第一、三象限．
(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，
所以m2－6m－11＝0，
所以m＝3±2，
此时复数z对应的点位于直线y＝x上．
10．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
[B 能力提升]
11．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈，所以cos θ＋sin θ＝sin<0，sin θ－cos θ＝sin(θ－)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.
12．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是( )
A．5 B．2
C．7 D．3
解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.
13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．
解析：因为z1＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
14．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|<.
解：(1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，则⇒
(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)由|z2|<，得<，
即3sin2 θ＋cos2 θ<2，
所以sin2θ<，
所以kπ－<θ<kπ＋(k∈Z)．
[C 拓展探究]
15．设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝；
(2)|z|≤3.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
(1)|z|＝，所以x2＋y2＝2，
所以点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆．
(2)|z|≤3，所以x2＋y2≤9.
所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
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