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课时作业47 概率的基本性质
知识点一 概率的性质
1.下列结论正确的是( )
A．事件A发生的概率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．如果A⊆B，那么P(A)<P(B)
答案 B
解析 因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1，所以A错误；不可能事件的概率规定为0，必然事件的概率规定为1，所以B正确；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，但并不是不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，所以C错误；由概率的单调性可知，如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，所以D错误.
知识点二 互斥事件的概率
2.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
答案
解析 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
3．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.05
0.14
0.35
0.30
0.10
0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
解 设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A∪B∪C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D∪E∪F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.
知识点三 对立事件的概率
4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
答案 C
解析 由对立事件的概率关系知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.
5．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数
7环以下
7
8
9
10
命中概率
0.13
a
b
0.25
0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
解 (1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，
所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.
(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.
(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
6.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．
正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.
故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
一、选择题
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可知
即即解得<a≤.
2．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
答案 A
解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝∅时，事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．
3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.
4．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1∪A2＋A3是必然事件；
③P(A2∪A3)＝0.8；
④P(A1∪A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.故选B.
5．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是( )
A．都是一级品
B．都是二级品
C．一级品和二级品各1件
D．至少有1件二级品
答案 D
解析 设A1，A2，A3分别表示3件一级品，B1，B2分别表示2件二级品．任取2件，则样本空间Ω＝{A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2}，共10个样本点，每个样本点出现的可能性相等．
事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，
则P(A)＝，
事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，
则P(B)＝，
事件C表示“2件中一件一级品、一件二级品”，包含6个样本点，则P(C)＝＝.
事件A，B，C互斥，P(B)＋P(C)＝，B∪C表示“至少有1件二级品”，故选D.
二、填空题
6．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________.
答案
解析 事件A，B为互斥事件，由题意可知P(A)＝，P(B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7．在掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪发生的概率为________．(表示B的对立事件)
答案
解析 随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果，且每种结果发生的可能性是相等的．其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝＝.
事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，
P(B)＝＝，P()＝.
且事件A和事件是互斥事件，所以P(A∪)＝＋＝.
8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________，________，________.
答案
解析 设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，且事件A，B，C，D两两互斥，根据题意，得
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
三、解答题
9．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
10．甲、乙两人玩一种游戏，每次甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若事件A表示“和为6”，求P(A)；
(2)现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解 (1)易知样本点总数n＝25，且每个样本点出现的可能性相等．
事件A包含的样本点共5个：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．所以P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．
(3)这种游戏规则不公平．
和为偶数的样本点有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．共13个，
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为1－＝，
所以这种游戏规则不公平．
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