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课时跟踪检测（十五） 事件之间的关系与运算
A级——学考水平达标练
1．打靶三次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．以上均不正确
解析：选B 由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0＋A1＋A2＋A3为必然事件，A＝A1＋A2＋A3表示的是打靶三次至少击中一发．
2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( )
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
解析：选AD A是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件；C不是互斥事件；D是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．
3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38.
4．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A＋B是必然事件 B.∪是必然事件
C.与一定互斥 D．A与不可能互斥
解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件，故选B.
5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析：设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.
答案：
6.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是______．
解析：设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
7．根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示：
(1)确定图中a的值；
(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)．
解：(1)由题图可得0.01＋a＋0.19＋0.29＋0.45＝1.00，所以a＝0.06.
(2)设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击，击中环数为8,9,10.所以P(A)＝0.45＋0.29＋0.01＝0.75.
8．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果．
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．
B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}．
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1或3或4或5}，
B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出现点数2或3或4或6}．
C∩D＝∅，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．
9．玻璃盒子里装有各色球12个，其中5红球、4黑球、2白球、1绿球，从中任取1球．记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.求：
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．
解：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
B级——高考水平高分练
1．(多选题)下列命题错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
解析：选BCD 由互斥事件与对立事件的定义可知A正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故B不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故C不正确；由对立事件的定义可知，只有事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝∅时，A，B才互为对立事件，故D不正确．
2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
3．某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
解：(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
4．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，
P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
5．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A，B，C能答对题目的概率P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率P(D)＝，如果将三个臭皮匠A，B，C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
解：如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＞P(D)＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．
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