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第二章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程－＝1的解集为( )
A．{－17} B．{17}
C．{4} D．{1}
答案 A
解析 通分得，＝1，去分母，去括号得，3x－9－4x－2＝6，系数化为1得，x＝－17，即其解集为{－17}．故选A.
2．方程x2＋50x－600＝0的解集为( )
A．{－10,60} B．{10，－60}
C．{－20,30} D．{20，－30}
答案 B
解析 原方程可变为(x－10)(x＋60)＝0，即其解集为{10，－60}．故选B.
3．已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0有两个相等的实根，则k的值为( )
A．±2 B．±
C．2或3 D.或
答案 A
解析 因为方程有两个相等的实根，所以Δ＝(－k)2－4×2×3＝k2－24＝0，即k＝±2.故选A.
4．已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是( )
A．x1≠x2 B．x1＋x2>0
C．x1x2>0 D．x1<0，x2<0
答案 A
解析 由根与系数的关系与已知，可得x1＋x2＝a，x1x2＝－2，所以x1与x2异号，又Δ＝(－a)2－4×1×(－2)＝a2＋8>0恒成立，即a取任意值且x1与x2不等．故选A.
5．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 根据不等式的性质，知C成立；若a>0>b，则>，则A不成立；若a＝1，b＝－2，则B不成立；若c＝0，则D不成立．故选C.
6．不等式≥2的解集为( )
A．[－1,0)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
答案 A
解析 原不等式变形为－2≥0即≤0.因为x≠0，所以当x<0时，有1＋x≥0即x≥－1；当x>0时，有1＋x≤0即x≤－1，矛盾．综上，原不等式的解集为[－1,0)，故选A.
7．不等式x2－3x＋2<0的解集是( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(1,2)
D．(－2，－1)
答案 C
解析 不等式x2－3x＋2<0可变为(x－1)(x－2)<0，即其解集为(1,2)．故选C.
8．方程组的解集为( )
A．{(－12,16,18)} B．{(62，－12,14)}
C．{(18,16,14)} D．{(14,16,18)}
答案 C
解析 由已知
先消去未知数x，由②得x＝y＋2 ④，把④分别代入①和③得到关于y和z的二元一次方程组为
整理得
解得把y＝16代入④得x＝18，∴原方程组的解为即其解集为{(18,16,14)}．故选C.
9．方程组的解集为( )
A．{(4，－2)}
B．{(4,2)，(4，－2)}
C．{(－2,4)}
D．{(2，4)，(－2，4)}
答案 B
解析 由已知
把①代入②整理得x2－2x－8＝0，即(x－4)(x＋2)＝0，∴x1＝4，x2＝－2，∵y2＝2x≥0，∴x2＝－2舍去，∴x＝4，把x＝4代入①得y1＝2，y2＝－2，所以方程组的解为或即其解集为{(4,2)，(4，－2)}．故选B.
10．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－2,2]
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
答案 B
解析 原不等式可化为2＋1－≥0，即2≥－1的解集为R，所以－1≤0，即－2≤m≤2.故选B.
11．已知x>1，则x＋＋5的最小值为( )
A．－8 B．8
C．16 D．－16
答案 B
解析 ∵x>1，∴x－1>0，x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝2＋6＝8，当且仅当x＝2时等号成立．故选B.
12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
答案 B
解析 ＝＝≤＝＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.故选B.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2，x∈R}，P＝，则M∩P等于________．
答案 {x|－1<x≤3，x∈Z}
解析 ∵M＝{x|－1≤x≤3}，P＝{x|－1<x≤4，x∈Z}，∴M∩P＝{x|－1<x≤3，x∈Z}．
14．若关于x的一元二次方程x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为________．
答案
解析 由已知可得Δ＝(－2m)2－4××(－4m＋1)＝0，即m2＋2m－＝0，m2＋2m＝，故所求(m－2)2－2m(m－1)＝－m2－2m＋4＝－＋4＝.
15．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
答案 3
解析 x＋≥a恒成立⇔min≥a.∵x>1，∴x－1>0，∴x＋＝x－1＋＋1
≥2＋1＝3(当x＝2时取等号)．
∴a≤3，即a的最大值为3.
16．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
答案
解析 ∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－×2xy＝1.∴(2x＋y)2－·2≤1，即(2x＋y)2≤，解得－≤2x＋y≤.∴2x＋y的最大值是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a>0，试比较a与的大小．
解 a－＝＝.
因为a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0<a<1时，<0，有a<.
综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<.
18．(本小题满分12分)已知a，b，c为不等正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋.
证明 证法一：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝ ＋ ＋
<＋＋＝＋＋.
故原不等式成立．
证法二：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab
＝＋＋
> ＋＋
＝＋＋.
故原不等式成立．
19．(本小题满分12分)求下列式子的解集：
(1)
(2)
(3)≥0；
(4)x2－(2＋c)x＋2c<0(c为常数)．
解 (1)由已知
将①代入②得2x2＋5x＋2＝0，解得x1＝－，x2＝－2，将所得x值代入①有或即所求方程组解集为.
(2)由已知
由①＋②×2得x2＋2xy＋y2＝49.
∴x＋y＝±7，将x，y看作m2－7m＋12＝0或m2＋7m＋12＝0的两解，则m1＝3，m2＝4或m3＝－4，m4＝－3，
∴或或或
所求解集为{(3,4)，(4,3)，(－4，－3)，(－3，－4)}．
(3)原不等式可化为所以原不等式的解集为.
(4)x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；
②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；
③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.
所以所求解集为：当c>2时，(2，c)；当c＝2时，∅；当c<2时，(c,2)．
20．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求2＋2的最小值．
解 2＋2
＝a2＋b2＋＋＋4
＝(a2＋b2)＋4
＝[(a＋b)2－2ab]＋4
＝(1－2ab)＋4，
由a＋b＝1，得ab≤2＝，
所以1－2ab≥1－＝，且≥16，
所以2＋2≥×(1＋16)＋4＝，
所以2＋2的最小值为.
21．(本小题满分12分)若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a的取值范围．
解 ∵x2－ax－6a<0有解，
∴方程x2－ax－6a＝0的判别式Δ＝a2＋24a>0，
∴a>0或a<－24.
解集的区间长度就是方程x2－ax－6a＝0的两个根x1，x2的差的绝对值，由x1＋x2＝a，x1x2＝－6a，得
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋24a.
∵|x1－x2|≤5，∴(x1－x2)2≤25，
∴a2＋24a≤25，∴－25≤a≤1.
综上可得－25≤a<－24或0<a≤1，
即a的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．
22．(本小题满分12分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．
(1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙；
(2)设mA＝mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．
解 设mA＝x，mB＝y.
(1)甲买进产品A的满意度：h1甲＝；
甲卖出产品B的满意度：h2甲＝；
甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：
h甲＝ ；
同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：
h乙＝ .
当x＝y时，h甲＝
＝ ＝ ，
h乙＝ ＝
＝ ，
故h甲＝h乙．
(2)当x＝y时，
由(1)知h甲＝h乙＝ ，
因为＝≤，当且仅当y＝10时，等号成立．当y＝10时，x＝6.
因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.
(3)由(2)知h0＝.
因为h甲h乙＝
＝ ≤，
所以，当h甲≥，h乙≥时，有h甲＝h乙＝.
因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．
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