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§3 双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
课后训练案巩固提升
A组
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
解析:由于两点间的距离为10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.在应用双曲线的定义时一定要注意其定义中的绝对值以及2c>2a.
答案:D
2.在双曲线中,ca=52,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是( )
A.y24-x2=1 B.x24-y2=1
C.x2-y24=1 D.y2-x24=1
解析:椭圆的标准方程为x29+y24=1,故焦点坐标为(±5,0),
∴c=5.由ca=52,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.
答案:B
3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(22)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.
答案:B
4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.y24-x212=1 D.y212-x24=1
解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,
由x2+y2-6x-4y+8=0,y=0,
得x2-6x+8=0.
∴x=2或x=4,即c=4,a=2.
∴双曲线方程为x24-y212=1.
答案:A
5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
A.x23-y26=1 B.x24-y25=1
C.x26-y23=1 D.x25-y24=1
解析:∵kAB=0+153+12=1,∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
则x2a2-(x-3)2b2=1.
整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6a2a2-b2=2×(-12),∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为x24-y25=1.
答案:B
6.已知双曲线x225-y29=1的两个焦点分别为F1,F2,若双曲线上的点P到点F1的距离为12,则点P到点F2的距离为 .
解析:设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线左支上时,|PF2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点P在双曲线右支上时,|PF1|-|PF2|=10,|PF2|=2.
答案:22或2
7.已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .
解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.
答案:9
8.双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为 .
解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.
①当m>n时,由x29-y216=1,知a=3,b=4,
∴c=5.
由双曲线的定义,知m-n=2a=6.
∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形,
即m2+n2=(2c)2=100.
由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,
∴2mn=m2+n2-36=64.∴mn=32.
设点P到x轴的距离为d,则
S△PF1F2=12d|F1F2|=12|PF1||PF2|,
即12d·2c=12mn.
∴d=mn2c=3210=165,
即点P到x轴的距离为165.
②当m<n时,同理可得点P到x轴的距离为165.
答案:165
9.求与双曲线x216-y24=1共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程.
解由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为x216-k-y24+k=1.
由于点(32,2)在所求的双曲线上,
从而有1816-k-44+k=1.
整理,得k2+10k-56=0,
∴k=4或k=-14.
又16-k>0,4+k>0,∴-4<k<16.
从而得k=4.
故所求双曲线的方程为x212-y28=1.
10.导学号90074075一动圆与☉A:(x+5)2+y2=49和☉B:(x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解设动圆的半径为r,
依题意得|PA|=r+7,|PB|=1+r,如图,
∴|PA|-|PB|=6.而A,B为定点,且|AB|=10,由双曲线的定义知P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,
又A(-5,0),B(5,0),∴|AB|=10=2c.∴c=5.
又2a=6,∴a=3,∴b2=c2-a2=16.
故其轨迹方程为x29-y216=1(x≥3).
B组
1.已知双曲线的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1||PF2|=2,则该双曲线的方程是( )
A.x22-y23=1 B.x23-y22=1
C.x24-y2=1 D.x2-y24=1
解析:由题意知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(25)2=20.又|PF1||PF2|=2,
由双曲线定义,得||PF1|-|PF2||=2a,
∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=20,
即4a2+2×2=20,∴a2=4.∴b2=c2-a2=1.
∴双曲线的方程是x24-y2=1.
答案:C
2.P是双曲线x2a2-y2b2=1右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是( )
A.a B.b C.c D.a+b-c
解析:如图,
内切圆圆心M到各边的距离分别为MA,MB,MC,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,
∴|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,
又|AF1|+|AF2|=2c,
∴|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.
∵M的横坐标和A的横坐标相同,答案为A.
答案:A
3.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线x2a2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP·FP的取值范围为( )
A.[3-23,+∞) B.[3+23,+∞)
C.-74,+∞ D.74,+∞
解析:如图所示,
由c=2得a2+1=4,∴a2=3,
∴双曲线方程为x23-y2=1.
设P点坐标为(x,y)(x≥3),
则OP·FP=(x,y)·(x+2,y)
=x2+2x+y2=x2+2x+x23-1
=43x2+2x-1(x≥3).
令g(x)=43x2+2x-1(x≥3),则g(x)在[3,+∞)上是增加的,g(x)min=g(3)=3+23,
∴OP·FP的取值范围为[3+23,+∞).
答案:B
4.如图,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解由题意得,
F1:(x+5)2+y2=1,F2:(x-5)2+y2=16.
设动圆M的半径为r,
则|MF1|=r+1,|MF2|=r+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|,
可知点M(x,y)的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,而a=32,c=5,
∴b2=c2-a2=914,
∴动圆圆心M的轨迹方程是4x29-4y291=1x≤-32.
5.导学号90074076某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.
解如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设M是分界线上的点,
则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.
在△APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos 60°=17 500.
从而a=25,c2=|AB|24=4 375,
所以b2=c2-a2=3 750.
所以所求分界线的方程为x2625-y23 750=1(x≥25).
于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
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