2022-2022版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章-圆锥曲线与方程-3.3.1-Word版含解析.docx

3双曲线3.1双曲线及其标准方程课后训练案巩固提升A组1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线解析:由于两点间的距离为10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.在应用双曲线的定义时一定要注意其定义中的绝对值以及2c2a.答案:D2.在双曲线中,ca=52,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是()A.y24-x2=1B.x24-y2=1C.x2-y24=1D.y2-x24=1解析:椭圆的标准方程为x29+y24=1,故焦点坐标为(5,0),c=5.由ca=52,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.答案:B3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8解析:在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即(22)2=22+|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=4.答案:B4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.y24-x212=1D.y212-x24=1解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,由x2+y2-6x-4y+8=0,y=0,得x2-6x+8=0.x=2或x=4,即c=4,a=2.双曲线方程为x24-y212=1.答案:A5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1解析:kAB=0+153+12=1,直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则x2a2-(x-3)2b2=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6a2a2-b2=2(-12),5a2=4b2.又a2+b2=9,a2=4,b2=5.双曲线E的方程为x24-y25=1.答案:B6.已知双曲线x225-y29=1的两个焦点分别为F1,F2,若双曲线上的点P到点F1的距离为12,则点P到点F2的距离为.解析:设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线左支上时,|PF2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点P在双曲线右支上时,|PF1|-|PF2|=10,|PF2|=2.答案:22或27.已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.答案:98.双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1PF2,则点P到x轴的距离为.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.当mn时,由x29-y216=1,知a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义,知m-n=2a=6.PF1PF2,PF1F2为直角三角形,即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,2mn=m2+n2-36=64.mn=32.设点P到x轴的距离为d,则SPF1F2=12d|F1F2|=12|PF1|PF2|,即12d2c=12mn.d=mn2c=3210=165,即点P到x轴的距离为165.当m0,4+k0,-4k0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP的取值范围为()A.3-23,+)B.3+23,+)C.-74,+D.74,+解析:如图所示,由c=2得a2+1=4,a2=3,双曲线方程为x23-y2=1.设P点坐标为(x,y)(x3),则OPFP=(x,y)(x+2,y)=x2+2x+y2=x2+2x+x23-1=43x2+2x-1(x3).令g(x)=43x2+2x-1(x3),则g(x)在3,+)上是增加的,g(x)min=g(3)=3+23,OPFP的取值范围为3+23,+).答案:B4.如图,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解由题意得,F1:(x+5)2+y2=1,F2:(x-5)2+y2=16.设动圆M的半径为r,则|MF1|=r+1,|MF2|=r+4,|MF2|-|MF1|=310=|F1F2|,可知点M(x,y)的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,而a=32,c=5,b2=c2-a2=914,动圆圆心M的轨迹方程是4x29-4y291=1x-32.5.导学号90074076某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,APB=60,试说明怎样运土才能最省工.解如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设M是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.在APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|PB|cos 60=17 500.从而a=25,c2=|AB|24=4 375,所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为x2625-y23 750=1(x25).于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.