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函数——函数根底知识2
一．选择题〔共8小题〕
1如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段B0、0A匀速运动到点A，那么0P的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是〔 〕
A． B． C． D．
2．如图，点P是菱形ABCD边上一动点，假设∠A=60°，AB=4，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动，当点P运动到点D时停止运动，那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是〔 〕
A． B． C． D．
3．点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，那么该封闭图形可能是〔 〕
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC〔或边CB〕于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，那么y与x之间的函数图象大致为〔 〕
A． B． C． D．
5．世界文化遗产“华安二宜楼〞是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是〔 〕
A． B． C． D．
6．一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶．下面是汽车行驶路程S〔千米〕关于时间t〔小时〕的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是〔 〕
A． B． C． D．
7．函数中自变量x的取值范围是〔 〕
A．x≤2 B．x=3 C．x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
8．函数y=的自变量x的取值范围是〔 〕
A．x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1或x≠3
二．填空题〔共6小题〕
9．函数y=中自变量x的取值范围是 _________ ．
10．函数y=﹣中自变量x的取值范围是 _________ ．
11．函数的自变量x的取值范围是 _________ ．
12．函数y=﹣+的定义域是 _________ ．
13．根据如下列图程序计算函数值，假设输入的x的值为，那么输出的函数值为 _________ ．
14．某书定价25元，如果一次购置20本以上，超过20本的局部打八折，试写出付款金额y〔单位：元〕与购书数量x〔单位：本〕之间的函数关系 _________ ．
三．解答题〔共7小题〕
15．求函数y=的自变量x的取值范围．
16．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AC=10cm，有一动点P，从点B开始，沿由B向A，再由A向D，再由D向C的方向运动，每秒钟点P的运动方向距离为2cm，试求△PBC的面积S〔cm2〕与运动时间t〔秒〕的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
17．以下列图表示长沙市2022年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图答复以下问题：
〔1〕这天的最高气温是 _________ 度；
〔2〕这天共有 _________ 个小时的气温在31度以上；
〔3〕这天在 _________ 〔时间〕范围内温度在上升；
〔4〕请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度答： _________ ．
18．用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙〔墙长为12米〕的矩形菜园ABCD，设AB长为x米，菜园的面积为y平方米．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕求x的取值范围．
19．在弹性限度内，弹簧的长度y〔cm〕是所挂物体的质量x〔kg〕的一次函数，一根弹簧不挂物体时长10cm，当所挂的质量为3kg时，弹簧长16cm，写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为10kg时的长度．
20．电影院放映 冰河世纪3 ，每张电影票的售价为40元，中小学生持学生证购票可以打5折．某日电影院共售票150张，其中售出x张学生票，其余按原价售出．设票房收入为y元，请用含x的式子表示y，并写出自变量x的取值范围．
21．在等腰三角形ABC中，AB=AC，周长为30．设它的底边BC长为x，腰AB长为y．那么
〔1〕请写出x表示y的表达式；
〔2〕y是x的函数吗如果是，写出自变量的范围．
函数——函数根底知识2
参考答案与试题解析
一．选择题〔共8小题〕
1．如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段B0、0A匀速运动到点A，那么0P的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是〔 〕
A． B．C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
专题： 动点型．
分析： 分点P在弧AB上，在线段BO上，线段OA上三种情况讨论得到OP的长度的变化情况，即可得解．
解答： 解：点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变；
点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0；
点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度．
纵观各选项，只有D选项图象符合．
应选：D．
点评： 此题考查了动点问题的函数图象，根据点P的位置分点P在弧上与两条半径上三段讨论是解题的关键．
2．如图，点P是菱形ABCD边上一动点，假设∠A=60°，AB=4，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动，当点P运动到点D时停止运动，那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是〔 〕
A． B．C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
专题： 分段函数．
分析： 根据∠A的度数求出菱形的高，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
解答： 解：∵∠A=60°，AB=4，
∴菱形的高=4×=2，
点P在AB上时，△APD的面积S=×4×t=t〔0≤t≤4〕；
点P在BC上时，△APD的面积S=×4×2=4〔4＜t≤8〕；
点P在CD上时，△APD的面积S=×4×〔12﹣t〕=﹣t+12〔8＜t≤12〕，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
应选：B．
点评： 此题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出相应的函数解析式是解题的关键．
3．点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，那么该封闭图形可能是〔 〕
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．
解答： 解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，
那么y=〔a＜x＜2a〕，符合题干图象；
B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；
C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；
D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．
应选：A．
点评： 此题考查了动点问题函数图象，熟练掌握等边三角形，菱形，正方形以及圆的性质，理清点P在各边时AP的长度的变化情况是解题的关键．
4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC〔或边CB〕于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，那么y与x之间的函数图象大致为〔 〕
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
专题： 数形结合．
分析： 分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
解答： 解：当点Q在AC上时，
∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°=，
∴y=×AP×PQ=×x×=x2；
当点Q在BC上时，如以下列图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16﹣x，∠B=60°，
∴PQ=BP•tan60°=〔16﹣x〕．
∴==．
∴该函数图象前半局部是抛物线开口向上，后半局部也为抛物线开口向下．
应选：B．
点评： 此题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
5．世界文化遗产“华安二宜楼〞是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是〔 〕
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．
解答： 解：如下列图，当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而减小；
当停留拍照时，t增大但s=0；
当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．
当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．
综上所述，只有C符合题意．
应选：C．
点评： 主要考查了动点问题的函数图象．此题首先正确理解题意，然后根据题意把握好函数图象的特点，并且善于分析各图象的变化趋势．
6．一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶．下面是汽车行驶路程S〔千米〕关于时间t〔小时〕的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是〔 〕
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 行程问题．
分析： 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
解答： 解：通过分析题意可知，行走规律是：匀速走﹣﹣停﹣﹣匀速走，速度是前慢后快．所以图象是
．
点评： 主要考查了函数图象的读图能力．
7．函数中自变量x的取值范围是〔 〕
A． x≤2 B．x=3 C． x＜2且x≠3 D． x≤2且x≠3
考点： 函数自变量的取值范围．
专题： 函数思想．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得：x≤2．
应选：A．
点评： 考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
8．函数y=的自变量x的取值范围是〔 〕
A． x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥﹣1 D． x≤﹣1或x≠3
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得x≥﹣1且x≠3．
应选B．
点评： 此题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
二．填空题〔共6小题〕
9．函数y=中自变量x的取值范围是 x≤，且x≠0 ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x≠0，1﹣2x≥0；解可得答案．
解答： 解：根据题意得x≠0，1﹣2x≥0；
解得x≤，且x≠0．
故答案为x≤，且x≠0．
点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．函数y=﹣中自变量x的取值范围是 ﹣2＜x≤3 ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0．分式有意义的条件是分母不为0，列不等式组求解．
解答： 解：根据题意，得，
解得：﹣2＜x≤3，
那么自变量x的取值范围是﹣2＜x≤3．
点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
11．函数的自变量x的取值范围是 x≠﹣5 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
专题： 函数思想．
分析： 根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：x+5≠0，
解得：x≠﹣5．
故答案为：x≠﹣5．
点评： 考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．函数y=﹣+的定义域是 x≤3且x≠2 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得x≤3且x≠2．
故答案为：x≤3且x≠2．
点评： 此题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．根据如下列图程序计算函数值，假设输入的x的值为，那么输出的函数值为．
考点： 分段函数；函数值．
分析： 观察图形可知，输入的x，有三个关系式，当﹣1≤x＜0时，y=x﹣3，当0≤x＜2时，y=x2，当2≤x≤4时，y=．因为x=，所以代入y=即可得输出的结果是﹣1．
解答： 解：∵x=，
∴由题意可知代入y=，
得：y=，
故答案为：．
点评： 此题主要考查了分段函数，解答此题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
14．某书定价25元，如果一次购置20本以上，超过20本的局部打八折，试写出付款金额y〔单位：元〕与购书数量x〔单位：本〕之间的函数关系 y=．
考点： 分段函数．
专题： 压轴题．
分析： 此题采取分段收费，根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的局部打八折分别求出付款金额y与购书数x的函数关系式，再进行整理即可得出答案．
解答： 解：根据题意得：
y=，
整理得：；
那么付款金额y〔单位：元〕与购书数量x〔单位：本〕之间的函数关系是y=；
故答案为：y=．
点评： 此题考查了分段函数，理解分段收费的意义，明确每一段购书数量及相应的购书单价是解题的关键，要注意x的取值范围．
三．解答题〔共7小题〕
15．求函数y=的自变量x的取值范围．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 此题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两局部．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数＞等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答： 解：根据二次根式的意义，被开方数4+2x≥0，解得x≥﹣2；
根据分式有意义的条件，x﹣1≠0，解得x≠1，因为x≥﹣2的数中包含1这个数，
所以自变量的范围是x≥﹣2且x≠1．
点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
16．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AC=10cm，有一动点P，从点B开始，沿由B向A，再由A向D，再由D向C的方向运动，每秒钟点P的运动方向距离为2cm，试求△PBC的面积S〔cm2〕与运动时间t〔秒〕的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
考点： 函数关系式；函数自变量的取值范围．
分析： 根据勾股定理，可得BC的长，分类讨论，0≤t＜3，3≤t≤7，根据三角形的面积公式，可得答案．
解答： 解：由勾股定理，得
BC==8，
由三角形的面积公式，得y=．
点评： 此题考查了函数关析式，分类讨论是解题关键．
17．以下列图表示长沙市2022年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图答复以下问题：
〔1〕这天的最高气温是 36 度；
〔2〕这天共有 9 个小时的气温在31度以上；
〔3〕这天在 3﹣15 〔时间〕范围内温度在上升；
〔4〕请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度答：25℃．
考点： 函数的图象．
专题： 图表型．
分析： 〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕认真观察函数的图象，根据时间与温度的关系解答．
解答： 解：〔1〕由图可知这天的最高气温15时时是36度；
〔2〕气温在31度以上的是从12时到21时，21﹣12=9个小时；
〔3〕由图可知这天在3﹣15〔时间〕范围内温度在上升3度；
〔4〕次日凌晨1点的气温大约是25℃．
点评： 此题比较简单，考查了同学们读图的能力及对数值进行估算的能力．
18．用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙〔墙长为12米〕的矩形菜园ABCD，设AB长为x米，菜园的面积为y平方米．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕求x的取值范围．
考点： 函数关系式；函数自变量的取值范围．
分析： 〔1〕由AB边长为x米根据可以推出BC=〔30﹣x〕，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．
〔2〕因为篱笆一边靠墙且墙长为12米，所以x＜12，又因为x＞0，所以0＜x＜12．
解答： 解：〔1〕∵AB边长为x米，
而菜园ABCD是矩形菜园，
∴BC=〔30﹣x〕，
∵菜园的面积=AB×BC=〔30﹣x〕•x，
∴菜园的面积y与x的函数关系式为：y=﹣x2+15x．
〔2〕∵篱笆一边靠墙且墙长为12米，
∴x＜12，
∵x＞0，
∴0＜x＜12．
点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式用x表示BC，然后利用矩形的面积公式即可解决问题，此题的难点在于得到BC长．
19．在弹性限度内，弹簧的长度y〔cm〕是所挂物体的质量x〔kg〕的一次函数，一根弹簧不挂物体时长10cm，当所挂的质量为3kg时，弹簧长16cm，写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为10kg时的长度．
考点： 函数关系式；函数值．
分析： 设y=kx+b，将x=0，y=10和x=3，y=16，分别代入关系式，即可求出k/b的值，进而确定关系式；然后将x=10代入关系式即可．
解答： 解：设y与x之间的关系式为：y=kx+b，
将x=0，y=10和x=3，y=16，分别代入y=kx+b得：
b=10 ①，
3k+b=16 ②，
将①代入②得，
3k+10=16，
所以k=2，
所以y与x之间的关系式为：y=2x+10；
将x=10，代入y=2x+10得：y=30．
所以当所挂物体的质量为10kg时的长度为30cm．
点评： 此题考查了列函数关系式，将x=0，y=10和x=3，y=16，分别代入y=kx+b，是解题的关键．
20．电影院放映 冰河世纪3 ，每张电影票的售价为40元，中小学生持学生证购票可以打5折．某日电影院共售票150张，其中售出x张学生票，其余按原价售出．设票房收入为y元，请用含x的式子表示y，并写出自变量x的取值范围．
考点： 函数关系式；函数自变量的取值范围．
分析： 根据票房收入由学生票和非学生票两种列式整理即可得解，再根据电影票张数是非负数列式求出x的取值范围．
解答： 解：y=40×0.5x+40〔150﹣x〕=﹣20x+6000，
所以，y=﹣20x+6000；
150﹣x≥0，
解得x≤150，
所以，自变量的取值范围是0≤x≤150．
点评： 此题考查了函数关系式，函数自变量的取值范围的求解，读懂题目信息，理解票房收入由两个局部组成是解题的关键．
21．在等腰三角形ABC中，AB=AC，周长为30．设它的底边BC长为x，腰AB长为y．那么
〔1〕请写出x表示y的表达式；
〔2〕y是x的函数吗如果是，写出自变量的范围．
考点： 函数关系式；常量与变量；函数自变量的取值范围．
分析： 〔1〕根据三角形的周长，可得函数关系式；
〔2〕根据函数的定义，可得答案，根据三角形边的关系，可得自变量的范围．
解答： 解；〔1〕由题意，得
y=﹣x+15；
〔2〕y是x的函数，
由三角形两边之和大于第三边，得
30﹣x＞x，
解得x＜15，
自变量的范围：0＜x＜15．
点评： 此题考查了函数关系式，利用了三角形的周长，三角形三边的关系．
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