资源描述
1.2 函数的极值
课后训练案巩固提升
A组
1.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图像,则x12+x22等于( )
A.23 B.43
C.83 D.123
解析:∵函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点(0,0),(1,0),(2,0),∴d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0.
∴b=-3,c=2.∴f'(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-43=83.
答案:C
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图像可能是( )
解析:由函数f(x)在x=-2处取得极小值,可知x<-2时f'(x)<0,则xf'(x)>0;x>-2时,f'(x)>0,则当-2<x<0时,xf'(x)<0,当x>0时,xf'(x)>0.
答案:C
3.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于点(1,0),则f(x)有( )
A.极大值为427,极小值为0
B.极大值为0,极小值为427
C.极小值为-427,极大值为0
D.极大值为-427,极小值为0
解析:∵f'(x)=3x2-2px-q,
∴f'(1)=3-2p-q=0.①
又f(1)=1-p-q=0,②
由①②解得p=2,q=-1,
即f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1,
令3x2-4x+1=0,解得x1=13,x2=1.
当x<13时,f'(x)>0;
当13<x<1时,f'(x)<0;
当x>1时,f'(x)>0.
∴当x=13时,f(x)有极大值427,当x=1时,f(x)有极小值0.
答案:A
4.若函数f(x)=sin x-kx存在极值,则实数k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.[0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
解析:f'(x)=cos x-k,当k≥1时,f'(x)≤0,此时f(x)在定义域上是减少的,无极值,当k≤-1时,f'(x)≥0,此时f(x)在定义域上是增加的,也无极值;当-1<k<1时,令f'(x)=0,得cos x=k,从而可以确定x的值,使f(x)在定义域内存在极值,因此实数k的取值范围是(-1,1).
答案:A
5.若函数f(x)=x3-6x2+9x-10-a有三个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-10) B.(-6,+∞)
C.(-10,-6) D.(-∞,-10)∪(-6,+∞)
解析:令f(x)=0,得x3-6x2+9x-10=a,令g(x)=x3-6x2+9x-10,则g'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
由g'(x)=0,得x=1或x=3.
当x<1或x>3时,g'(x)>0,g(x)是增加的;当1<x<3时,g'(x)<0,g(x)是减少的.所以g(x)的极大值为g(1)=-6,g(x)的极小值为g(3)=-10.
作出函数g(x)的大致图像如图所示.
函数f(x)有三个零点,即直线y=a与函数g(x)的图像有三个交点,所以-10<a<-6,故选C.
答案:C
6.函数f(x)=-ln x+x的极小值等于 .
解析:f'(x)=1-1x,令f'(x)=0,则x=1.
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表所示:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
故f(x)的极小值是f(1)=1.
答案:1
7.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意知,f'(x)=3x2+2x-a,则f'(-1)·f'(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得1<a<5,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)上没有极值点.
答案:[1,5)
8.如图是y=f(x)导数的图像,对于下列四种说法:
①f(x)在[-2,-1]上是增加的;
②x=-1是f(x)的极小值点;
③f(x)在[-1,2]上是增加的,在[2,4]上是减少的;
④x=3是f(x)的极小值点.
其中正确的是 .
解析:根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断.
答案:②③
9.设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0),且f'(x)-9x=0的两根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)的图像过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
解(1)由f(x)=a3x3+bx2+cx+d,
得f'(x)=ax2+2bx+c.
∵f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4,
∴a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,a=3.
∴a=3,b=-3,c=12.
又f(x)=a3x3+bx2+cx+d过原点,
∴d=0.∴f(x)=x3-3x2+12x.
(2)∵a>0,∴f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点等价于f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立.
由(1)知a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,
∴2b=9-5a,c=4a.
∵f'(x)≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
∴Δ=(2b)2-4ac=(9-5a)2-16a2
=9(a-1)(a-9)≤0.
∴a∈[1,9],即a的取值范围为[1,9].
10.导学号88184036已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.
(2)求函数f(x)的极值.
解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ax.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-2x(x>0),∴f(1)=1,f'(1)=-1.
∴y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f'(x)=1-ax=x-ax,x>0,可知
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增加的,函数f(x)无极值.
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a,∵x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
∴f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取极小值a-aln a,无极大值.
B组
1.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数图像如图所示,则函数f(x)的极小值是( )
A.a+b+c
B.8a+4b+c
C.3a+2b
D.c
解析:由导函数的图像可知,f(x)在(-∞,0)上是减少的,在(0,2)上是增加的,所以f(x)在x=0时取得极小值为c.
答案:D
2.设函数f(x)=x3-4x+a,0<a<2,若f(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则( )
A.x1>-1 B.x2<0
C.x2>0 D.x3>2
解析:∵函数f(x)=x3-4x+a,0<a<2,
∴f'(x)=3x2-4.
令f'(x)=0,得x=±233,
∵在x∈-∞,-233上,f'(x)>0;
在x∈-233,233上,f'(x)<0;
在x∈233,+∞上,f'(x)>0.
∴f-233是极大值,f233是极小值.
又∵f(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,可得x1<-233,-233<x2<233,x3>233,根据f(0)=a>0,且f233=a-1639<0,可得233>x2>0.
答案:C
3.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:
①f(0)·f(1)>0;②f(0)·f(1)<0;③f(0)·f(3)>0;④f(0)·f(3)<0.
其中正确的结论序号为 .
解析:设g(x)=x3-6x2+9x=0,则x1=0,x2=x3=3,其图像如图(1).
图(1)
要使f(x)=x3-6x2+9x-abc有3个零点,
须将g(x)的图像向下平移,如图(2).
图(2)
又f'(x)=3x2-12x+9=0时,x1=1,x2=3,即得f(1)是极大值,f(3)是极小值,所以f(0)·f(1)<0,f(0)·f(3)>0.
答案:②③
4.导学号88184037已知函数f(x)=13x3+12(a-1)x2+ax(a∈R).
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求f(x)的递增区间.
(2)若f(x)在区间(0,1)内有极大值和极小值,求实数a的取值范围.
解f'(x)=x2+(a-1)x+a
(1)因为f(x)在x=2处取得极值,所以f'(2)=0.
所以4+2(a-1)+a=0.所以a=-23.
所以f'(x)=x2-53x-23=x+13(x-2).
令f'(x)>0,则x+13(x-2)>0,
所以x>2或x<-13.
所以函数f(x)的递增区间为-∞,-13,(2,+∞).
(2)因为f(x)在区间(0,1)内有极大值和极小值,所以f'(x)=0在(0,1)内有两个不等实根,对称轴为x=-a-12,
所以Δ>0,0<-a-12<1,f'(0)>0,f'(1)>0,即Δ=(a-1)2-4a>0,-1<a<1,a>0,1+a-1+a>0,
所以0<a<3-22.
5.导学号88184038已知函数f(x)=aln x-bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln 2+2.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)+m=0在区间1e,e内有两个不等实根,求m的取值范围.
解(1)∵f'(x)=ax-2bx,f'(2)=a2-4b,f(2)=aln 2-4b,∴a2-4b=-3,且aln 2-4b=-6+2ln 2+2,
解得a=2,b=1.
(2)f(x)=2ln x-x2,设h(x)=f(x)+m=2ln x-x2+m,
则h'(x)=2x-2x=2(1-x2)x,
令h'(x)=0,得x=1(x=-1舍去).
当x∈1e,1时,h'(x)>0,h(x)是增加的;
当x∈(1,e]时,h'(x)<0,h(x)是减少的.
则方程h(x)=0在1e,e内有两个不等实根的充要条件是h1e≤0,h(1)>0,h(e)≤0.解得1<m≤1e2+2.
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