2022-2022学年高中数学课时分层作业7圆锥曲线的参数方程含解析新人教B版选修.doc

课时分层作业(七)　
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．曲线C：(φ为参数)的离心率为(　　)
A．　B． C． D．
[解析]　由题设，得＋＝1，
∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，
因此e＝＝.
[答案]　A
2．参数方程(α为参数)的普通方程是(　　)
A．y2－x2＝1 B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(|x|≤) D．x2－y2＝1(|x|≤)
[解析]　因为x2＝1＋sin α，
所以sin α＝x2－1.
又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)，
所以y2－x2＝1.
∵x＝sin＋cos＝sin，
故x∈[－，]．
∴普通方程为y2－x2＝1，x∈[－，]．
[答案]　C
3．点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为(　　)
A．0　　 B．1 C.　　　　D．2
[解析]　d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，
∴t2≥0，d2≥1，dmin＝1.
[答案]　B
4．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是(　　)
A．(3,4) B．(，2)
C．(－3，－4) D．(，)
[解析]　由题意知，3cos θ＝4sin θ，
∴tan θ＝，则sin θ＝，cos θ＝，
∴x＝3×cos θ＝3×＝，y＝4sin θ＝4×＝，
因此点P的坐标为(，)．
[答案]　D
二、填空题
5．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
[解析]　点M的坐标为
直线OM的斜率k＝＝2.
[答案]　2
6．抛物线方程为(t为参数)，则它在y轴正半轴上的截距是________．
[解析]　当x＝0时，－4t2＋1＝0，t＝±，
∴在y轴的正半轴上的截距是4×＝2.
[答案]　2
三、解答题
7.如图所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？

[解]　抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)．
设P(x，y)，则M是OP中点．
∴∴(t为参数)，
消去t得y＝x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
8．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[解]　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
9.如图所示，求椭圆＋＝1的内接矩形的最大面积是多少？

[解]　椭圆的参数方程为

设内接矩形在第一象限内的一个顶点为M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为
S＝4xy＝4·5cos t·4sin t＝40sin 2t.
当t＝时，面积S取得最大值40，此时
x＝5cos＝，y＝4sin＝2.
因此，矩形在第一象限的顶点为(，2)时，内接矩形的面积最大，为40.