2022届高三下学期三调数学(理科)试卷-答案.docx

河北省衡水中学2017届度高三下学期三调数学（理科）考试
答 案
一、选择题
1~5．CDCAB 6~10．BDAAB 11~12．DA
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：（1）令，得． （1分）
∵，∴，当时，． （2分）
两式相减得，∴，从而数列为等比数列．
∴． （5分）
（2）当时，由（1）知，．
（8分）
∴数列是单调递减的等差数列，公差为．
∴． （10分）
当时，． （11分）
∴数列的前6项和最大． （12分）
18．解：（1），，∵线性方程过点∴．
∴6月份的生产胶囊的产量数：． （5分）
（2）．
．
其分布列为
X
0
1
2
3
P

∴． （12分）
19．（1）因为，故．
故，以为原点，分别为轴，轴，轴正方向．
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，易知的一个法向量．
所以．所以．
又，所以． （6分）
（2）当点与点重合时，直线与所成角的余弦值等于．理由如下：直线与所成角的余弦值等于，即直线与所成角的正弦值等于，因为．设的法向量为．
由，得，取得的一个法向量．
假设线段上存在一点，使得直线与所成角的正弦值等于．
所以
．
所以，解得．
因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与所成角的余弦值等于． （12分）
20．解：（1）因为，所以，所以椭圆的方程为．
（4分）
（2）将直线代入椭圆，得．
设，则．
又．由得，即．
因为，得．
此时，．
因为直线与线段，椭圆短轴分别交于不同点．
所以且，且．
因为，所以．
两边平方得
，所以．
又因为在上单调递增．
所以，且．
即，且．
所以． （12分）
21．解：（1）由已知． （1分）
则，且，解之得． （3分）
（2）当时，．
又． （5分）
故当，即时，．
“存在，使成立”等价于“当时，有”．
又当时，，所以．
问题等价于“当时，有”．
①当时，在上为减函数，则．
故； （7分）
②当时，在上的值域为．
（ⅰ）当时，在上恒成立，故在上为增函数．
于是，不合题意； （9分）
（ⅱ）时，由的单调性和值域知，
存在唯一，使，且满足
当时，，为减函数；
当时，，为增函数．
所以． （10分）
所以，与矛盾． （11分）
综上，得的最小值为． （12分）
22．解：（1）由得，
所以曲线的直角坐标系方程为．
所以直线过定点且斜率为，
所以直线的参数方程为． （5分）
（2）将直线的参数方程代入中，得到，
设对应的参数分别为,则．
故． （10分）
23．解：（1）若，原不等式可化为，解得即；
若，原不等式可化为，解得，即；
若，原不等式可化为，解得，即；
综上所述，不等式的解集为，
所以． （6分）
（2）由（1）知，所以．
故，所以，即实数的最大值为． （10分）