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课时分层作业(十八) 点到直线的距离
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5
C．3 D．2
A [直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.]
2．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8,0) B．(－12,0)
C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)
C [设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，
解得x＝8或x＝－12.
所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．]
3．已知点A(0,2)、B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
A [由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－2＝0.
因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，得h＝.
设点C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，则t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．]
4．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为( )
A．3 B．2
C．1 D．
C [d＝＝1.]
5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A． B．
C． D．
A [设P(x0，－x)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，
∴当x0＝时，dmin＝＝.]
二、填空题
6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
－3或 [∵＝4，
∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3，或k＝.]
7．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．
2 [|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.]
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
[设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.]
三、解答题
9．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
[解] 由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝＝2.
设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
[解] ∵由解得
∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为＝.
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴＝和＝.
∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.
∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
[等级过关练]
1．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
B [设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.]
2．若动点A(x1，y1)、B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为( )
A．3 B．2
C．3 D．4
A [根据已知条件可以知道，AB的中点M一定在处于l1，l2之间且与l1，l2距离相等的直线上，即M在直线x＋y－6＝0上，M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝3.]
3．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________．
(写出所有正确答案的序号)
①⑤ [两平行线间的距离为d＝＝，由题意知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.]
4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是________．
[由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，
则|PQ|＝，
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即
＝，
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离
d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.]
5．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．
[解] (1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝.
则直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．
则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.最大距离为，
(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6>，故不存在这样的直线．
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