2022-2022学年高中数学课时分层作业7柱锥台和球的体积含解析新人教B版必修.doc

课时分层作业(七)　柱、锥、台和球的体积
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A．　　B． C．　　D．
D　[V＝Sh＝××3＝.]
2．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径为(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D.
A　[设大球的半径为r，则π×13×2＝πr3，
∴r＝.]
3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)
A．　　B． C．　　D．
D　[如图，去掉的一个棱锥的体积是××＝，

剩余几何体的体积是1－8×＝.]
4．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为(　　)

A．π　　 B．π
C．π　　 D．π
A　[由三视图可知，该几何体是一个圆锥与一个球的组合体．圆锥的底面半径与球的半径均为1，圆锥的高为＝，∴该几何体的体积V＝π×12×＋π×13＝π.]
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(　　)
A．1∶∶ B．6∶2∶
C．6∶2∶3 D．3∶2∶6
C　[设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.]
二、填空题
6．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为________．
　[设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.]
7．已知三棱锥S­ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．

　[如图，在三棱锥S­ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝×4×＝.在Rt△SAO中，SO＝＝，所以V＝×××42＝.]

8．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.

4　[设球的半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，得6r·πr2＝8πr2＋3×πr3，解得r＝4.]
三、解答题
9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．

[解]　因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×10
＝π(cm3)，
因为V半球<V圆锥，
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．

[解]　设圆台上、下底面半径分别为r，R.
∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，
∴R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，
∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.
[等级过关练]
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)
A．　　　　B．　　　C.　　　D.
A　[由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.]
2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是(　　)
A．54 B．54π
C．58 D．58π
A　[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，
∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.]
3．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A—DED1的体积为________．

　[V＝V
＝××1×1×1＝.]
4．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.

a　[设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为πh.
根据题意，有πR2h＝πh，解得R＝a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，
所以h＝a.]
5．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．

[解]　如图所示，
连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，
∴VA­BEFC＝V＝V，
又V＝S·h，
V＝S·h＝m，
∴V＝，
∴V＝V－V＝m，
∴VA­BEFC＝×m＝.
即四棱锥A­BEFC的体积是.