黑龙江省哈尔滨六中2021届高考数学适应性试卷一文含解析.doc

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学适应性试卷（文科）（一）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）
A．﹣4 B． C．4 D．
2．设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为
（　　）
A．{0} B．{0，3} C．{1，3，4} D．{0，1，3，4}
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（　　）

A．4，8 B．4， C．4（+1）， D．8，8
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（　　）
A．1 B． C．2 D．3
7．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．1
9．在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=（　　）
A．132 B．299 C．68 D．99
10．已知实数x，y满足，则2x+y的取值范围是（　　）
A．[1，2] B．[1，+∞） C． D．
11．已知函数f（x）=x2﹣cosx，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
12．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置
13．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形ABCD内，则粒子落在△ABE内的概率等于　　　　　　．

14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为　　　　　　．
15．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为　　　　　　．
16．已知f（x）=4x+1，g（x）=4﹣x．若偶函数h（x）满足h（x）=mf（x）+ng（x）（其中m，n为常数），且最小值为1，则m+n=　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列满足bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：．
18．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．
（1）完成下列2×2列联表：

运动
非运动
总计
男性

女性

总计

n
（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？
参考公式：K，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥K0）
0.050
0.010
0.001
K0
3.841
6.635
10.828
19．斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分别是A1C1，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面BB1C1C；
（2）求证：CE⊥面ABC．
（3）求四棱锥E﹣BCC1B1的体积．

20．如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积．

21．已知函数f（x）=x3﹣3x
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m在[﹣，3]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数h（x）=ex﹣ex+4n2﹣2n（e为自然对数的底数），如果对任意的x1，x2∈[，2]，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，求实数n的取值范围．

二.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1几何证明选讲]
22．如图，圆O的直径AB、BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）若HE=2a，求ED．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．

[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．

2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学适应性试卷（文科）（一）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）
A．﹣4 B． C．4 D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式两边同时乘以，然后利用复数模的公式及除法运算化简，则答案可求．
【解答】解：∵（3﹣4i）z=|4+3i|，
∴=．
∴z的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．

2．设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为
（　　）
A．{0} B．{0，3} C．{1，3，4} D．{0，1，3，4}
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】计算题．
【分析】通过解方程分别求得集合A、B，根据A∪B中所有元素之和为8，可得a的可能取值．
【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}，
解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}，
∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．
∴a=0或1或3或4．
故选：D．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，利用了分类讨论思想．

3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构和循环结构的嵌套计算并输出i值，模拟程序的运行过程可得答案．
【解答】解：当a=4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=2；
当a=5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a=16，i=3；
当a=16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=8，i=4；
当a=8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=4，i=5；
当a=4时，满足退出循环的条件，故输出结果为：5
故选C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序运行结果时，模拟程序运行结果是最常用的方法，一定要熟练掌握．

4．函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】将函数y解析式第一项利用诱导公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可得出y的最大值．
【解答】解：y=sin（x+）+cos（﹣x）
=cosx+cosx+sinx
=cosx+sinx
=（cosx+sinx）
=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），
∵﹣1≤sin（x+θ）≤1，
∴函数y的最大值为．
故选C
【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（　　）

A．4，8 B．4， C．4（+1）， D．8，8
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其表面积和体积可求．
【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，
所以该四棱锥为正四棱锥，
其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，
则四棱锥的斜高PE==．
所以该四棱锥表面积S=4+4××2×=4（），
体积V==．
故选C．

【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．

6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．
【解答】解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y=±x
又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，
∴则，
A，B两点的纵坐标分别是y=±=，
又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线
∴，得p=2．
故选C．
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．

7．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得．
【解答】解：求导数可得f′（x）=x2+2ax+b2，
要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，
即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，
又a，b的取法共3×3=9种，
其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），
（3，0），（3，1），（3，2）共6种，
故所求的概率为P=
故选D
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及函数的极值问题，属基础题．

8．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】以为基底，把用表示，代入•=1，结合数量积运算可求得答案．
【解答】解：如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴=
=
=
=，
∴．
∵，∴．
∴AB的长为．
故选：C．
【点评】求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，属中档题．

9．在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=（　　）
A．132 B．299 C．68 D．99
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意数列各项以3为周期呈周期变化，所以a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，进而S100=33×（a1+a2+a3）+a1．由此能够求出S100．
【解答】解：∵在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），
∴an+3=an．即数列各项以3为周期呈周期变化
∵98=3×32+2，
∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，
a1+a2+a3=2+3+4=9，
∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1
=33×9+2=299．
故选B
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

10．已知实数x，y满足，则2x+y的取值范围是（　　）
A．[1，2] B．[1，+∞） C． D．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．
【解答】解：设2x+y=b，则只需求直线2x+y=b在y轴上的截距范围．
画出可行域为弓形，
当直线与圆相切时，截距最大，且为，
当直线过点（0，1）时截距最小，且为1，
所以2x+y的取值范围是[1，]．
故选：D

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

11．已知函数f（x）=x2﹣cosx，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣cosx为偶函数，
∴f（﹣0.5）=f（0.5），f′（x）=2x+sinx，
当0＜x＜时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数在（0，）上递增，
∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6），
即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6），
故选：B
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，求函数的导数，利用函数的单调性是解决本题的关键．

12．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．
【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）
的左焦点为F，右顶点为A，
则A（a，0），F（﹣c，0），
∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，
∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）
∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），
将B（m，n）代入抛物线方程得，
n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），
∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得， +=1，
化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．
故选D．

【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置
13．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形ABCD内，则粒子落在△ABE内的概率等于　　．

【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意，只要求出矩形和三角形的面积，利用面积比得到所求．
【解答】解：由题意，本题符合几何概型，假设矩形ABCD的面积为S，则△ABE的面积为S，
由几何概型公式可得粒子落在△ABE内的概率等于：；
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概型概率求法；根据是明确满足条件的事件的测度是什么，利用公式解答．

14．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为　　．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由题意四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，
所以R==1，
所以球的体积为：．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．

15．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为　4　．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由a﹣2csinA=0及正弦定理，可得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），可得C=．利用余弦定理可得：，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由a﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），
∴，
∵△ABC是锐角三角形，∴C=．
∵c=2，C=，
由余弦定理，，
即a2+b2﹣ab=4，
∴（a+b）2=4+3ab，
化为（a+b）2≤16，
∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，
故a+b的最大值是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．已知f（x）=4x+1，g（x）=4﹣x．若偶函数h（x）满足h（x）=mf（x）+ng（x）（其中m，n为常数），且最小值为1，则m+n=　　．
【考点】函数最值的应用；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数是偶函数，确定m=n，利用基本不等式求最值，确定m的值，即可得到结论．
【解答】解：由题意，h（x）=mf（x）+ng（x）=m4x+m+n4﹣x，h（﹣x）=mf（﹣x）+ng（﹣x）=m4﹣x+m+n4x，
∵h（x）为偶函数，∴h（x）=h（﹣x），∴m=n
∵h（x）=m（4x+4﹣x）+m，4x+4﹣x≥2
∴h（x）min=3m=1
∴m=
∴m+n=
故答案为：
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列满足bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：．
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质．
【专题】综合题；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，令n=1可求a1，n≥2时，，，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可得an；
（Ⅱ）表示出bn，进而可得，并拆项，利用裂项相消法可求和，由和可得结论；
【解答】解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴，
当n=1时，，解得；
当n≥2时，，，
两式相减得：an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴，
所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，．
（Ⅱ）bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）
=×
=（2n﹣1）（2n+1），
，
则
=
=．
【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查裂项相消法对数列求和，考查等比数列的通项公式，属中档题．

18．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．
（1）完成下列2×2列联表：

运动
非运动
总计
男性

女性

总计

n
（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？
参考公式：K，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥K0）
0.050
0.010
0.001
K0
3.841
6.635
10.828
【考点】独立性检验；独立性检验的基本思想．
【专题】计算题．
【分析】（1）依据某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．即可完成表格；
（2）将表格中的数据代入，得到K2≥K0=3.841，解出n即可；
（3）由（2）知，即为所求．
【解答】解：（1）2×2列联表：

运动
非运动
总计
男性

女性

总计

n
（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，则K2≥K0=3.841
由于==，
故，即n≥138.276，又由，故n≥140，
则若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人；
（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有人的休闲方式是运动．
【点评】本题主要考查独立性检验，本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度．

19．斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分别是A1C1，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面BB1C1C；
（2）求证：CE⊥面ABC．
（3）求四棱锥E﹣BCC1B1的体积．

【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行即可；
（2）根据面面垂直，只需证明CE垂直于交线即可；
（3）根据底面积相等，同高的棱锥体积相等，将四棱锥分割为两个体积相等的三棱锥，再根据体积公式求三棱锥的体积即可．
【解答】（1）证明：取BC中点M，连结FM，C1M．在△ABC中，
∵F，M分别为BA，BC的中点，
∴FM∥AC，FM=AC．
∵E为A1C1的中点，AC∥A1C1
∴FM∥EC1且FM=EC1，
∴四边形EFMC1为平行四边形∴EF∥C1M．
∵C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C．
（2）证明：连接A1C，∵四边形AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°
∴△A1C1C为等边三角形
∵E是A1C1的中点．∴CE⊥A1C1
∵四边形AA1C1C是菱形，∴A1C1∥AC．∴CE⊥AC．
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，且交线为AC，CE⊂面AA1C1C
∴CE⊥面ABC
（3）连接B1C，∵四边形BCC1B1是平行四边形，所以四棱锥=
由第（2）小问的证明过程可知 EC⊥面ABC
∵斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∴面ABC∥面A1B1C1．∴EC⊥面EB1C1
∵在直角△CEC1中CC1=3，，∴
∴
∴四棱锥==2×

【点评】本题考查线面平行的判定、线面垂直的判定及棱锥的体积．

20．如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积．

【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出；
（Ⅱ）设l2：y=kx+m，由l2与⊙O相切可得2m2=1+k2，直线与抛物线方程联立可得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，利用直线l2与抛物线相切，可得△=0可得km=1，联立解出k，m．得出Q坐标，|PQ|，直线l2方程，利用点到直线l2的距离公式可得F（1，0）到的距离．
【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点坐标为，
由题意知，∴x1+x2=6，
又|AB|=x1+x2+p=8，∴p=2，
故抛物线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）设l2：y=kx+m，由l2与⊙O相切得①，
由⇒k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，（*）
∵直线l2与抛物线相切，
∴△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0⇒km=1②
由 ①，②得k==±1，
∴方程（*）为x2﹣2x+1=0，解得x=1，
∴Q（1，±2），
∴|PQ|===；
此时直线l2方程为y=x+1或y=﹣x﹣1，
∴令F（1，0）到l2的距离为，
∴S△PQF===．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切转化为方程联立可得△=0、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．已知函数f（x）=x3﹣3x
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m在[﹣，3]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数h（x）=ex﹣ex+4n2﹣2n（e为自然对数的底数），如果对任意的x1，x2∈[，2]，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，求实数n的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）直接求导数，然后解不等式可得原函数的增减区间；
（2）利用数形结合，将问题转化为函数y=f（x）与y=m的交点问题，只需利用导数研究函数y=f（x）的极值、最值即可；
（3）因为h（x）与f（x）是两个不同的函数，所以该不等式恒成立只需f（x）max≤h（x）min即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．
因为当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．
（2）要使函数g（x）=f（x）﹣m在[，3]上有三个零点，就是要方程f（x）﹣m=0在[，3]上有三个实根，也就是只要函数y=f（x）和函数y=m的图象在[﹣，3]上有三个不同的交点．
由（1）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减；
所以f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2．
又f（）=，f（3）=18．
故实数m的取值范围为．
（3）对任意的，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，等价于当时，f（x）max≤h（x）min成立．
由（1）知，f（x）在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且，f（2）=2，所以f（x）在[，2]上的最大值f（x）max=2．
又h′（x）=ex﹣e，令h′（x）=0，得x=1．
因为当x＜1时，h′（x）＜0；当x＞1时，h′（x）＞0；所以h（x）在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；故h（x）在[，2]上的最小值h（x）min=h（1）=4n2﹣2n．
所以4n2﹣2n≥2，解得或n≥1，故实数n的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性、极值和最值的方法，不等式恒成立问题的解题思路，属于常规题目．

二.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1几何证明选讲]
22．如图，圆O的直径AB、BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）若HE=2a，求ED．

【考点】圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．
【专题】计算题；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）由已知得∠BAD=∠CAD=∠DBC，∠DBE=∠BAE，由此能证明∠DBE=∠DBC．
（Ⅱ）由⊙O的直径AB，∠ADB=90°，由此能求出ED．
【解答】（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…
由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB
∴∠DBE=∠DBC…
（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB
∴∠ADB=90°，
又由（1）得∠DBE=∠DBH，
∵HE=2a，
∴ED=a．
【点评】本题考查两角相等的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程消去参数，化为普通方程．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线y=x﹣m的距离d，再由弦长公式求得d，再根据这两个d相等，从而求得m的值．
【解答】解：（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，
即 （x﹣2）2+y2=4．
把直线l的参数方程是（t是参数），消去参数化为普通方程为y=x﹣m．
（Ⅱ）曲线表示一个圆，圆心（2，0）、半径为2，
求出圆心（2，0）到直线y=x﹣m的距离为 d=，
再由弦长公式求得d==，
故有=，求得m=1，或 m=3．
【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．

[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．
【考点】全称命题；函数恒成立问题．
【专题】综合题．
【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲
解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2﹣2x），
∴g（x）=﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．
上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，
由①得，而②无解．∴原不等式的解集为． …
（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．
作出函数F（x）=2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．
由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是． …
【点评】本题考查二次函数图象与性质．

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