高优指导2021版高考数学一轮复习第十三章选修4系列59不等式选讲考点规范练文北师大版选修4_5.doc

考点规范练59　不等式选讲
　考点规范练A册第47页　 
基础巩固组
1.(2015河北唐山一模)已知函数f(x)=|2x-a|+|x+1|.
(1)当a=1时,解不等式f(x)<3;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的值.
解:(1)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=
且f(1)=f(-1)=3.
所以f(x)<3的解集为{x|-1<x<1}.
(2)|2x-a|+|x+1|=+|x+1|++0=.
当且仅当(x+1)≤0且x-=0时,等号成立.
所以=1,解得a=-4或a=0.
2.(2015河北石家庄高三质检二)已知f(x)=+3|x-a|.
(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;
(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.
解:(1)当a=1时,由f(x)≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,
①当x≤-时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x≤-1,
∴x≤-1;
②当-<x<1时,3x+1-3(x-1)≥8,无解;
③当x≥1时,3x+1+3(x-1)≥8,∴x≥.
综上所述,f(x)≥8的解集为(-∞,-1]∪.
(2)f(x)=+3|x-a|
≥
=≥2≥m.
当且仅当=3a,即a=时,等号成立,
所以m的最大值为2.
3.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c大于0,且=m,求证:a+2b+3c≥9.
(1)解:∵f(x+2)=m-|x|,
∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0且其解集为{x|-m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.
(2)证明:由(1)知=1,且a,b,c大于0,由柯西不等式知:
a+2b+3c=(a+2b+3c)
≥=9,
当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.
4.(2015辽宁葫芦岛二模)已知f(x)=|2x-1|+ax-5(a是常数,a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.
(2)如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|+x-5=
由解得x≥2;
由解得x≤-4.
∴f(x)≥0的解集为{x|x≥2,或x≤-4}.
(2)由f(x)=0得|2x-1|=-ax+5.

作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图像,观察可以知道,当-2<a<2时,这两个函数的图像有两个不同的交点,
函数y=f(x)有两个不同的零点.
故a的取值范围是(-2,2).
能力提升组
5.(2015江西赣州高三摸底考试)设函数f(x)=|x|+|2x-a|.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≤1;
(2)若不等式f(x)≥a2对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=
根据图像易得f(x)≤1的解集为.

(2)当a=0时显然成立,当a≠0时,令x=ka(k∈R),
由f(x)≥a2对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k-1|≥|a|对任意k∈R恒成立,
由(1)知|k|+|2k-1|的最小值为,
所以|a|≤,即-≤a≤且a≠0.
综上,实数a的取值范围为-≤a≤.〚导学号32470558〛
6.(2015河北石家庄一模)已知函数f(x)=的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,当正数a,b满足=n时,求7a+4b的最小值.
解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,
所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立.
设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值.
又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,
即g(x)的最小值为4,所以m≤4.
(2)由(1)知n=4,
所以7a+4b=
=
=.
当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=时,等号成立.
所以7a+4b的最小值为.

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