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滚动测试卷三(第一~八章)
(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第9页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为( )
A.16π B.8π
C.4π D.2π
答案:C
解析:解答三视图相关题目的关键是正确转化,一是位置关系,二是数量关系.据已知三视图易知三棱锥外接球的半径为1,故其表面积为4π.
2.在△ABC中,AB=3,BC=3,∠ABC=,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )
A.6π B.5π C.4π D.π
答案:D
解析:作AD⊥BC交直线BC于点D,则有AD=3sin,将△ABC绕直线BC旋转一周所得到的几何体可视为从一个以AD为底面半径、CD为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、BD为高的圆锥后所剩余部分,因此所求几何体的体积等于π·AD2×(BC+BD)-π·AD2×BD=π·AD2×BC=×3=π.
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a,b的夹角θ为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案:C
解析:∵(2a+b)·b=0,
∴(2a+b)·b=b2+2a·b=0,
即|b|2=-2a·b.
又∵|a|=|b|,∴|b|2=|a||b|=-2a·b,
又由cos θ=,
易得cos θ=-,
则θ=120°.
4.已知f(x)=sin x-x,命题p:任意x∈,f(x)<0,则( )
A.p是假命题,p:任意x∈,f(x)≥0
B.p是假命题,p:存在x0∈,f(x0)≥0
C.p是真命题,p:任意x∈,f(x)>0
D.p是真命题,p:存在x0∈,f(x0)≥0
答案:D
解析:∵f(x)=sin x-x,
∴f'(x)=cos x-1,当x∈时,f'(x)<0.
∴f(x)是上的减函数,
∴f(x)<f(0)=0.
∴命题p:任意x∈,f(x)<0,是真命题;
∴该命题的否定是p:存在x0∈,f(x0)≥0.
5.
如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,E,F,H,K分别为AC',CB',A'B,B'C'的中点,G为△ABC的重心.从K,H,G,B'中取一点,设为P,使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行,则P为点( )
A.G B.H
C.K D.B'
答案:A
解析:若P为点G,连接BC',则F为BC'的中点,∴EF∥AB,EF∥A'B',∴AB∥平面GEF,A'B'∥平面GEF,∴P为点G符合题意;若P为点K,则三条侧棱与该平面平行,不符合题意;若点P为点H,则有上下两底面中的六条棱与该平面平行,不符合题意;若点P为点B',则只有一条棱AB与该平面平行,也不符合题意,故选A.
6.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=( )
A.2 B. C. D.1
答案:A
解析:∵bcos C+ccos B=2b,
∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A=2sin B,
∴=2,
由正弦定理知,
∴=2.
7.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是( )
A.若d<0,则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项,则d<0
C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N+,均有Sn>0
D.若对任意n∈N+,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
答案:C
解析:A.当d<0时,如果首项小于等于0,则S1即为最大项,若首项为正,则所有正项的和即为最大项,故A正确;
B.若d>0,数列{Sn}为递增数列,数列{Sn}不可能有最大项,要使前n项和有最大项,则必有公差小于0,故B正确;
C.若首项为负,则有S1<0,故C错误;
D.若数列{Sn}为递减数列,即公差小于0,则一定存在某个实数k,当n>k时,以后所有项均为负项,不能保证对任意n∈N+,均有Sn>0,因此,若要使任意n∈N+,均有Sn>0,则数列{Sn}必须是递增数列,故D正确.
8.已知偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+,则f(lo5)的值等于( )
A.-1 B. C. D.1
答案:D
解析:∵偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),
∴f(x+2)=f(x),周期为2,
∵当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+,
∴lo5=-log35∈(-2,-1),2-log35∈(0,1),
f(lo5)=f(2-log35)=f(log35-2)==1.
9.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像如图所示,为了得到函数y=cos的图像,只需将y=f(x)的图像( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
答案:C
解析:依题意,f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的周期T=2×=π=,∴ω=2.
又2×+φ=2kπ+π,k∈Z,且|φ|<π,∴φ=.
∴f(x)=sin
=cos
=cos=cos.
∴f=cos
=cos.
∴为了得到函数y=cos的图像,只需将y=f(x)的图像向左平移个单位.
10.若等比数列{an}的各项均为正数,且a7a11+a8a10=2e4,则ln a1+ln a2+ln a3+…+ln a17=( )
A.31 B.32 C.34 D.36
答案:C
解析:∵数列{an}为等比数列,且a7a11+a8a10=2e4,
∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4,
则a8a10=e4,
∴ln a1+ln a2+…+ln a17=ln(a1a2…a17)=34.
11.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B.1 C. D.
答案:D
解析:
如图所示,直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB,则A1C1到底面ABCD的距离为AA1,在Rt△ABB1中,BB1=AB·tan 60°=,所以AA1=BB1=.
12.(2015河南适应性模拟练习)在函数f(x)=aln x-(x-1)2的图像上,横坐标在(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[6,+∞) D.(6,+∞)
答案:C
解析:f'(x)=-(2x-2),由题意知-(2x-2)>1在(1,2)上恒成立,
所以a>x(2x-2)+x,整理得a>2x2-x,x∈(1,2),当x=2时,2x2-x取得最大值6,所以a≥6,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m= .
答案:5
解析:画出x,y满足的可行域如图阴影部分所示.
可得直线y=2x-1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x-y取得最小值,
由
解得x=,y=,
代入x-y=-1,得=-1,
m=5.
14.在△ABC中,,AD⊥AB,||=1,则= .
答案:
解析:在△ABC中,,
=()·=()·,
又∵,
∴=[(1-]·
=(1-
=(1-|2.
又∵AD⊥AB,即,
∴=0,且||=1,
∴=(1-)×0+×1=,
∴.
15.设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x++7.若“存在x∈[0,+∞),使f(x)<a+1”是假命题,则a的取值范围为 .
答案:a≤-
解析:由y=f(x)是定义在R上的奇函数,可求解析式为f(x)=
又“存在x≥0,使f(x)<a+1”是假命题,
则任意x≥0,f(x)≥a+1是真命题,当x=0时,0≥a+1,解得a≤-1,①
当x>0时,9x+-7≥a+1,结合均值不等式有6|a|-7≥a+1,得a≥或a≤-,②
①②取交集得a的取值范围是a≤-.
16.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是 .
答案:
解析:过K作KM⊥AF于M,连接DM,易知DM⊥AF,与折前的图形对比,可知由折前的图形中D,M,K三点共线且DK⊥AF,于是△DAK∽△FDA,
∴,即,∴t=.
又DF∈(1,2),∴t∈.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知函数f(x)=(2cos ωx+sin ωx)sin ωx-sin2(ω>0),且函数y=f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求函数f(x)的递增区间;
(2)求函数f(x)在区间上的值域.
解:(1)f(x)=2cos ωxsin ωx+sin2ωx-cos2ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.
由函数y=f(x)对称中心到最近的对称轴的距离为,
知,
即T=π,=π,ω=1,
所以f(x)=2sin.
由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为,
k∈Z.
(2)因为0≤x≤,所以-≤2x-,
所以-≤sin≤1,
所以-1≤f(x)≤2,
所以函数f(x)的值域为[-1,2].
18.(12分)
如图所示,ABC-A1B1C1是各条棱长为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,P是侧棱BB1的中点,O是△ABC的重心.
求证:(1)平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)PO∥平面AB1D.
证明:
(1)取AB1的中点E,AB的中点F,连接DE,CF,由题意知B1D=AD,故DE⊥AB1,又CF⊥AB,CF∥DE,故DE⊥AB,
∴DE⊥平面ABB1A1.
又DE⫋平面AB1D,∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
(2)连接PF,PC.∵P,F分别为BB1,BA的中点,
∴PF∥AB1,PC∥B1D,
∴平面PFC∥平面AB1D,又PO⫋平面PFC,
∴PO∥平面AB1D.
19.(12分)△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=,且m∥n.
(1)求锐角B的大小;
(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.
解:(1)∵m∥n,∴2sin B·=-cos 2B,
∴sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.
又∵B为锐角,∴2B∈(0,π),
∴2B=,∴B=.
(2)∵B=,b=2,
由余弦定理cos B=,
得a2+c2-ac-4=0.
又a2+c2≥2ac,代入上式,得ac≤4,
当且仅当a=c=2时等号成立.
故S△ABC=acsin B=ac≤,
当且仅当a=c=2时等号成立,
即S△ABC的最大值为.
20.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且在前n项和中S4最大.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N+.
①求证:bn+1<bn≤;
②求数列{b2n}的前n项和Tn.
解:(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数,
又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0,
解得-≤d≤-,因此,d=-3,
数列{an}的通项公式为an=13-3n.
(2)①证明:由题意知bn=,∴bn+1-bn=<0,
∴数列{bn}是递减数列,{bn}的最大项为b1=,
所以bn+1<bn≤.
②Tn=+…+,
Tn=+…+,
两式相减得+…+
=,
∴Tn=.
21.(12分)(2015重庆,文20)
如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.
(1)证明:AB⊥平面PFE;
(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.
(1)证明:由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⫋平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.
因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.
从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.
(2)解:设BC=x,则在直角△ABC中,AB=,从而S△ABC=AB·BC=.
由EF∥BC知,,得△AFE∽△ABC,
故,即S△AFE=S△ABC.
由AD=AE,S△AFD=S△AFE=S△ABC=S△ABC=,从而四边形DFBC的面积为SDFBC=S△ABC-S△AFD=.
由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE==2.
体积VP-DFBC=·SDFBC·PE=·2=7,
故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.
所以,BC=3或BC=3.
22.(12分)(2014山东济宁一模)设函数f(x)=ax-2-ln x(a∈R).
(1)若f(x)在点(e,f(e))处的切线为x-ey-2e=0,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)当x>0时,求证:f(x)-ax+ex>0.
(1)解:∵f(x)=ax-2-ln x(x>0),∴f'(x)=a-.
又f(x)在点(e,f(e))处的切线为x-ey-2e=0,
∴f'(e)=a-,故a=.
(2)解:由(1)知,f'(x)=a-(x>0),
当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数;
当a>0时,令f'(x)=0,则x=,
令f'(x)<0,则0<x<,f'(x)>0,则x>,
∴f(x)在上递减,在上递增.
综上可得,当a≤0时,f(x)的减区间为(0,+∞);
当a>0时,f(x)的减区间为,f(x)的增区间为.
(3)证明:当x>0时,要证f(x)-ax+ex>0,即证ex-ln x-2>0,
令g(x)=ex-ln x-2(x>0),只需证g(x)>0,
∵g'(x)=ex-,由指数函数和幂函数的单调性知,g'(x)在(0,+∞)上递增,
又g'(1)=e-1>0,g'-3<0,
∴g'(1)·g'<0,
∴g'(x)在内存在唯一的零点,则g'(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
设g'(x)的零点为t,则g'(t)=et-=0,
即et=,由g'(x)的单调性知,
当x∈(0,t)时,g'(x)<g'(t)=0,
当x∈(t,+∞)时,g'(x)>g'(t)=0,
∴g(x)在(0,t)上为减函数,在(t,+∞)上为增函数,
∴当x>0时,g(x)≥g(t)=et-ln t-2=-ln-2=+t-2≥2-2=0,
又<t<1,等号不成立,∴g(x)>0,
∴当x>0时,f(x)-ax+ex>0.
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