高优指导2021版高考数学一轮复习大题专项练1高考中的函数与导数文北师大版.doc

高考大题专项练1高考中的函数与导数高考大题专项练第2页1.已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a0).若f(x)在-1,1上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x-1,1时,恒有f(x)g(a)+4.(1)解:因为a0,-1x1,所以当0a1时,若x-1,a,则f(x)=x3-3x+3a,f(x)=3x2-30,故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)=f(a)=a3.当a1时,有xa,则f(x)=x3-3x+3a,f(x)=3x2-30.故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.综上,g(a)=(2)证明:令h(x)=f(x)-g(a),当0a1时,g(a)=a3.若xa,1,h(x)=x3+3x-3a-a3,得h(x)=3x2+3,则h(x)在(a,1)上是增函数,所以,h(x)在a,1上的最大值是h(1)=4-3a-a3,且0a0.知t(a)在(0,1)上是增函数.所以,t(a)t(1)=4,即h(-1)0,所以f(x)在(0,+)递增.若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1.因此f2a-2等价于ln a+a-10.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+)上递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).导学号324708593.(2015东北三校第二次联考)已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间上无零点,求a的最小值.解:(1)当a=1时,f(x)=x-1-2ln x,则f(x)=1-,定义域为x(0,+).由f(x)0,得x2,由f(x)0,得0x0;h(x)=2ln x,x0,则f(x)=m(x)-h(x),当a2时,m(x)在上为增函数,h(x)在上为增函数,若f(x)在上无零点,由m(x)和h(x)的图像可知,mh,即(2-a)2ln,a2-4ln 2,2-4ln 2a2.当a2时,在上m(x)0,h(x)0,f(x)在上无零点.由得a2-4ln 2,amin=2-4ln 2.导学号324708604.(2015保定高三调研)已知函数f(x)=ln x+ax-a2x2(a0).(1)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(2)若f(x)0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域为(0,+),f(x)=.因为x=1是函数y=f(x)的极值点,所以f(1)=1+a-2a2=0,解得a=-或a=1.又a0,所以a=-(舍去).经检验当a=1时,x=1是函数y=f(x)的极值点,所以a=1.(2)当a=0时,f(x)=ln x,显然在定义域内不满足f(x)0时,令f(x)=0,得x1=-(舍去),x2=,所以f(x),f(x)的变化情况如下表:xf(x)+0-f(x)极大值所以f(x)max=f=ln1.综上可得实数a的取值范围是(1,+).导学号324708615.(2015新乡调研)已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-(aR),g(x)=x2+ex-xex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值;(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x2-2,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=.当a1时,x1,e,f(x)0,f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a.当1ae时,x1,a时,f(x)0,f(x)为减函数;xa,e时,f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.当ae时,x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为减函数.f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.综上,当a1时,f(x)min=1-a;当1ae时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1;当ae时,f(x)min=e-(a+1)-.(2)由题意知:f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.由(1)知f(x)在e,e2上递增,f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.g(x)=(1-ex)x.当x-2,0时g(x)0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-,所以a的取值范围为.导学号324708626.(2015兰州、张掖高三联考)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+bx-1.(1)当a=0且b=1时,证明:对任意x0,f(x)g(x);(2)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在递减区间,求a的取值范围.解:(1)证明:当a=0且b=1时,设h(x)=f(x)-g(x)=ln x-(x-1)=ln x-x+1,任意x0,h(x)=-1.解h(x)=0,得x=1.当0x0,h(x)递增;当x1时,h(x)=-10,h(x)h(1)=ln 1-1+1=0,ln xx-1,即f(x)g(x).(2)若b=2,h(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax2-2x+1,所以h(x)=-ax-2=-.因为函数h(x)存在递减区间,所以h(x)0在(0,+)上有解,所以a在(0,+)上有解,即存在x(0,+),使得a.令t=,x0,则t0,研究y=t2-2t,t0,当t=1时,ymin=-1,所以a-1.导学号324708633