高优指导2021高考数学一轮复习高考大题专项练4高考中的立体几何理含解析北师大版.doc

高考大题专项练4高考中的立体几何高考大题专项练第8页1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.(1)求证:BD平面AED;(2)求二面角F-BD-C的余弦值.(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,所以ADC=BCD=120.又CB=CD,所以CDB=30.因此ADB=90,即ADBD.又AEBD,且AEAD=A,AE,AD平面AED,所以BD平面AED.(2)解法一:连接AC.由(1)知ADBD,所以ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直.以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1).因此=(0,-1,1).设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),则m=0,m=0,所以x=y=z,取z=1,则m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,则cos=,所以二面角F-BD-C的余弦值为.解法二:如图,取BD的中点G,连接CG,FG.由于CB=CD,因此CGBD.又FC平面ABCD,BD平面ABCD,所以FCBD.由于FCCG=C,FC,CG平面FCG,所以BD平面FCG,故BDFG,所以FGC为二面角F-BD-C的平面角.在等腰三角形BCD中,由于BCD=120,因此CG=CB.又CB=CF,所以GF=CG,故cosFGC=,因此二面角F-BD-C的余弦值为.导学号929509422.如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)证明:DE平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小.(1)证明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=.由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即ACBC.又平面ABC平面BCDE,从而AC平面BCDE.所以ACDE,又DEDC,从而DE平面ACD.(2)解:方法一:作BFAD,与AD交于点F,过点F作FGDE,与AE交于点G,连接BG,由(1)知DEAD,则FGAD.所以BFG是二面角B-AD-E的平面角.在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BDBC,又平面ABC平面BCDE,得BD平面ABC,从而BDAB.由于AC平面BCDE,得ACCD.在RtACD中,由DC=2,AC=,得AD=.在RtAED中,由ED=1,AD=,得AE=.在RtABD中,由BD=,AB=2,AD=,得BF=,AF=AD.从而GF=.在ABE,ABG中,利用余弦定理分别可得cosBAE=,BG=.在BFG中,cosBFG=.所以,BFG=,即二面角B-AD-E的大小是.方法二:以D为原点,分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,),B(1,1,0).设平面ADE的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABD的法向量为n=(x2,y2,z2),可算得=(0,-2,-),=(1,-2,-),=(1,1,0),由可取m=(0,1,-).由可取n=(1,-1,).于是|cos|=.由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小是.导学号929509433.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD=,CDA=45.(1)求证:平面PAB平面PAD.(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长.在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.(1)证明:因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解:以A为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.在平面ABCD内,作CEAB交AD于点E,则CEAD.在RtCDE中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).()设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n,n,得取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos 60=,即,解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t0),所以AB=.()假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.设G(0,m,0)(其中0m4-t),则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t).由|=|得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;由|=|得(4-t-m)2=m2+t2.由,消去t,化简得m2-3m+4=0.由于方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.导学号929509444.如图,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,EA=ED,AE平面CDE.(1)求证:AB平面ADE;(2)设M是线段BE 上一点,当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为时,试确定点M的位置.(1)证明:AE平面CDE,CD平面CDE,AECD.在正方形ABCD中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE.ABCD,AB平面ADE.(2)解:由(1)得平面EAD平面ABCD,取AD的中点O,取BC的中点F,连接EO,OF.EA=ED,EOAD,EO平面ABCD.以OA,OF,OE分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).设M(x,y,z).=(x-1,y-2,z),=(-1,-2,1),B,M,E三点共线,设=(01),M(1-,2-2,),=(-,2-2,).设AM与平面EAD所成角为,平面EAD的一个法向量为n=(0,1,0),sin =|cos|=,解得=或=-1(舍去),点M为线段BE上靠近点B的三等分点.导学号929509455.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:CF平面BDE;(3)求二面角A-BE-D的大小.(1)证明:设AC与BD交于点G,因为EFAG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AFEG.因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)证明:因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CEAC,所以CE平面ABCD.如图,以C为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(,0),D(,0,0),E(0,0,1),B(0,0),F.所以=(0,-,1),=(-,0,1).所以=0-1+1=0,=-1+0+1=0.所以CFBE,CFDE,所以CF平面BDE.(3)解:由(2)知,是平面BDE的一个法向量;=(,0,0),设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0,即所以x=0,z=y.令y=1,则z=.所以n=(0,1,),从而cos=.因为二面角A-BE-D为锐角,所以二面角A-BE-D为.导学号929509466.(2015安徽,理19)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EFB1C;(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.(1)证明:由正方形的性质可知A1B1ABDC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形.从而B1CA1D,又A1D面A1DE,B1C面A1DE,于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1,面A1DE面B1CD1=EF,所以EFB1C.(2)解:因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1AB,AA1AD,ABAD且AA1=AB=AD,以A为原点,分别以为x轴、y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1,n1得r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0),=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为.导学号929509477.(2015天津,理17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.解:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=-,于是sin=.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)依题意,可设=,其中0,1,则E(0,2),从而=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos=,整理得2+4-3=0,又因为0,1,解得=-2.所以,线段A1E的长为-2.导学号929509486