高优指导2021版高考数学一轮复习大题专项练4高考中的立体几何文北师大版.doc

高考大题专项练4高考中的立体几何高考大题专项练第8页1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解:V=PAABAD=AB,由V=,可得AB=.作AHPB交PB于H,由题设知BC平面PAB,所以BCAH.故AH平面PBC.又AH=,所以A到平面PBC的距离为.导学号324708762.如图,四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是ABC=60的菱形,M为PC的中点.(1)求证:PCAD;(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;(3)求点D到平面PAM的距离.(1)证明:(方法一)取AD中点O,连接OP,OC,AC,依题意,可知PAD,ACD均为正三角形,所以OCAD,OPAD,又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC,所以AD平面POC,又PC平面POC,所以PCAD.(方法二)连接AC,依题意,可知PAD,ACD均为正三角形,又M为PC的中点,所以AMPC,DMPC,又AMDM=M,AM平面AMD,DM平面AMD,所以PC平面AMD,又AD平面AMD,所以PCAD.(2)证明:当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:取棱PB的中点Q,连接QM,QA,又M为PC的中点,所以QMBC,在菱形ABCD中,ADBC,所以QMAD,所以A,Q,M,D四点共面.(3)解:点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.由(1)可知POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.在RtPOC中,PO=OC=,PC=,在PAC中,PA=AC=2,PC=,边PC上的高AM=,所以PAC的面积SPAC=PCAM=,设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得SPACh=SACDPO,又SACD=22=,所以h=,解得h=,所以点D到平面PAM的距离为.导学号324708773.如图所示,ABC为正三角形,CE平面ABC,BDCE,CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM平面ECA.证明:(1)取CE的中点F,连接DF.CE平面ABC,CEBC.BDCE,BD=CE=CF=FE,四边形FCBD是矩形,DFEC.又BA=BC=DF,RtDEFRtADB,DE=DA.(2)取AC中点N,连接MN,NB,M是EA的中点,MN􀱀CE.由BD􀱀CE,且BD平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DMMN.DE=DA,M是EA的中点,DMEA.又EAMN=M,DM平面ECA,而DM平面BDM,平面BDM平面ECA.导学号324708784.如图所示,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.证明:(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.导学号324708795.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且PA底面ABCD,BDPC,E是PA的中点.(1)求证:平面PAC平面EBD;(2)若PA=AB=AC=2,求三棱锥P-EBD的体积.(1)证明:PA平面ABCD,PABD,又BDPC,PAPC=P,BD平面PAC,BD平面EBD,平面PAC平面EBD.(2)解:由(1)可知BDAC,四边形ABCD是菱形,BAD=120,SABD=BDOA=21=.VP-EBD=VP-ABD-VE-ABD=2-1=.导学号324708806.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E为PD的中点,AB=1,PA=2.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)求三棱锥E-PAC的体积.(1)证明:取AD中点F,连接EF,CF,在PAD中,EF是中位线,可得EFPA.EF平面PAB,PA平面PAB,EF平面PAB.RtABC中,AB=1,BAC=60,AC=2.又RtACD中,CAD=60,AD=4,结合F为AD的中点,得ACF是等边三角形,ACF=BAC=60,可得CFAB.CF平面PAB,AB平面PAB,CF平面PAB.EF,CF是平面CEF内的相交直线,平面CEF平面PAB.CE平面CEF,CE平面PAB.(2)解:PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD.又ACCD,PA,AC是平面PAC内的相交直线,CD平面PAC.CD平面DPC,平面DPC平面PAC.过E点作EHPC于H,由面面垂直的性质定理,得EH平面PAC,EHCD.在RtACD中,AC=2,AD=4,ACD=90,CD=2.E是PD的中点,EHCD,EH=CD=.PAAC,SPAC=22=2.因此,三棱锥E-PAC的体积V=SPACEH=.导学号324708817.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.(1)当AEEA1=12时,求证:DEBC1.(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以ABC是正三角形,又因为D是AC的中点,所以BDAC,又平面ABC平面CAA1C1,所以BDDE,因为AEEA1=12,AB=2,AA1=,所以AE=,AD=1,所以在RtADE中,ADE=30,在RtDCC1中,C1DC=60,所以EDC1=90,即DEDC1.因为C1DBD=D,所以DE平面BC1D,所以DEBC1.(2)解:假设存在点E,满足题意.设AE=h,则A1E=-h,所以-SAED-=2h-(-h)-h.因为BD平面ACC1A1,h.又V棱柱=2=3,所以h=1,解得h=.故存在点E,当AE=,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的.导学号324708828.(2015安徽,文19)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上,存在点M,使得ACBM,并求的值.(1)解:由题设AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin 60=.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=SABCPA=.(2)证明:在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM.在RtBAN中,AN=ABcosBAC=,从而NC=AC-AN=.由MNPA,得.导学号324708835