高优指导2021高考数学一轮复习高考大题专项练2高考中的三角函数与解三角形理含解析北师大版.doc

高考大题专项练2　高考中的三角函数与解三角形
　高考大题专项练第4页　 
1.已知tan 2θ=-2,π<2θ<2π,化简.
解:原式=.
∵2θ∈(π,2π),∴θ∈.
而tan 2θ==-2,
∴tan2θ-tan θ-=0,
即(tan θ+1)(tan θ-)=0.
故tan θ=-或tan θ=(舍去).
∴=3+2.〚导学号92950928〛
2.已知函数f(x)=cos-sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈,且f,求f(2α)的值.
解:(1)∵f(x)=cos x+sin x-cos x
=sin x-cos x=sin,
∴f(x)的最小正周期为2π.
(2)由(1)知f(x)=sin,
则f=sin=sin α=,
∵α∈,
∴cos α=.
∴sin 2α=2sin αcos α=2×,
cos 2α=2cos2α-1=2×-1=,
∴f(2α)=sin
=sin 2α-cos 2α
=.〚导学号92950929〛
3.(2015辽宁鞍山一模)已知函数f(x)=cos+2sinsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程;
(2)求函数f(x)在区间上的值域.
解:(1)∵f(x)=cos+2sinsin
=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)·(sin x+cos x)
=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x
=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin,
∴周期T==π.
由2x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).
∴函数图像的对称轴方程为x=(k∈Z).
(2)∵x∈,
∴2x-.
∴当2x-,即x=时,f(x)取最大值1,
当2x-=-,即x=-时,f(x)取最小值-,
∴函数f(x)在区间上的值域为.〚导学号92950930〛
4.(2015黑龙江大庆二检)已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.
解:(1)f(x)=sin 2x-cos2x-
=sin 2x-
=sin 2x-cos 2x-1
=sin-1.
由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f(C)=0,得sin=1,
∵0<C<π,∴-<2C-,
∴2C-,C=,
又sin B=2sin A,由正弦定理,得=2.①
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos,
即a2+b2-ab=3,②
由①②解得a=1,b=2.〚导学号92950931〛
5.(2015河南新乡调研)在△ABC中,cos A=,tan B=.
(1)求角C的大小;
(2)若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积.
解:(1)∵cos A=,0<A<π,∴sin A=,
∵tan B=,∴0<B<,
由且sin2B+cos2B=1,
得cos B=,sin B=.
cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)
=sin Asin B-cos Acos B
==-=-.
∵<C<π,∴C=.
(2)根据正弦定理=2R(R为外接圆半径),
得a=2Rsin A=,b=2Rsin B=.
由面积公式得
S△ABC=absin C=.〚导学号92950932〛
6.△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2b-c)cos A=acos C.
(1)求A的值;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值;
(3)若a=2,求△ABC周长的取值范围.
解:(1)由余弦定理得
2bcos A=c·+a·=b,
∴cos A=,由0<A<π,得A=.
(2)∵a=2,由余弦定理得
4=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc.
∴bc≤4,当且仅当b=c时取等号,
∴S△ABC=bcsin A=bc·×4=.
即当b=c=a=2时,△ABC面积的最大值为.
(3)由b2+c2-bc=4,得(b+c)2-3bc=4.①
又b+c≥2,∴bc≤,②
当且仅当b=c时取等号.
将①代入②得,
即(b+c)2≤16,
∴-4≤b+c≤4,又b+c>a,
∴4<a+b+c≤6,
即当a=b=c=2时,周长的最大值为6,△ABC周长的取值范围为(4,6].〚导学号92950933〛
7.(2015福建,理19)已知函数f(x)的图像是由函数g(x)=cos x的图像经如下变换得到:先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=-1.
(1)解:将g(x)=cos x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图像,再将y=2cos x的图像向右平移个单位长度后得到y=2cos的图像,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图像的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).
(2)①解:f(x)+g(x)=2sin x+cos x=
=sin(x+φ).
依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当<1,
故m的取值范围是(-).
②证法一:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)= .
当1≤m<时,α+β=2,
即α-β=π-2(β+φ);
当-<m<1时,α+β=2,
即α-β=3π-2(β+φ),
所以cos(α-β)=-cos 2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1
=2-1=-1.
证法二:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)= .
当1≤m<时,α+β=2,
即α+φ=π-(β+φ);
当-<m<1时,α+β=2,
即α+φ=3π-(β+φ).
所以cos(α+β)=-cos(β+φ).
于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]
=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=--1.〚导学号92950934〛

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