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函数的奇偶性与周期性
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一、选择题
1．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
B [对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.]
2．函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝x对称
B [因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．]
3．(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
A [法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．]
4．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
D [当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
故选D.]
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
B [因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
且f(x)＝
所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.]
二、填空题
6．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f的值为________．
ln 2 [由已知可得f＝ln ＝－2，
所以f＝f(－2)．
又因为f(x)是偶函数，
所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.]
7．已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________.
3 [由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．故函数f(x)的周期为4.所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.]
8．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.
－4 [法一：因为f(x)＋1＝x＋，
设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，
易判断g(x)＝x＋为奇函数，
故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，
即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.
所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.
法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，
即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.]
三、解答题
9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
[解] 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上可得f(x)的解析式为
f(x)＝
10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
[解](1)证明：由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，
知f(3＋x)＝f
＝－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
D [因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．]
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
B [因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x＜2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，
所以当0≤x＜2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x＜4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.]
3．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)＝________.
2 [∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，
f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，
∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]
4．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
[解](1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
1．已知函数f(x)＝log2(－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝则g(g(－1))＝______.
1 [由f(x)＝log2(－x)得－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝log2＝0，解得a＝1.所以g(－1)＝f(－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2log2(＋1)－1＝.]
2．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
[解](1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
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