2022年高考数学一轮复习专题1.2命题及其关系充分条件与必要条件讲理.doc

第02节 命题及其关系、充分条件与必要条件
【考纲解读】
命题角度
考 纲 内 容
5年统计
命 题 分 析 预 测
1．命题及其关系
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
无
1．该部分知识单独考查的可能性很小，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度．
2．备考重点：
（1）命题的真假的判断；
（2）利用充分条件、必要条件求参数的范围．
2．充分条件和必要条件
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义
2014课标Ⅱ，3
【知识清单】
1．命题及其关系
（1）命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
（2）四种命题及相互关系
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
对点练习：
有下列四个命题（1）“若，则”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题．其中真命题为（ ）
A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（1）（3）
【答案】D
2．充分条件与必要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件；
（3）若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
对点练习：
【2018高考北京理6】设均为单位向量，则“”是“”的 （ ）
A．充分而不必条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】试题分析：先对模平方，将等价转化为，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系．
试题解析：，因为均为单位向量，，即“”是“”的充分必要条件．选C．
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件．
【考点深度剖析】
高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．
【重点难点突破】
考点1四种命题的关系及真假判断
【1-1】给出命题“已知实数满足，则”，它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A． 0　　　　　B． 1　　　　　C． 2　　　　　D． 3
【答案】B
【解析】∵．∴原命题为真，从而逆否命题为真；若，显然得不出，故逆命题为假，因而否命题为假，选B．
【1-2】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若是偶数，则与不都是偶数 B．若是偶数，则与都不是偶数
C．若不是偶数，则与不都是偶数 D．若不是偶数，则与都不是偶数
【答案】C
【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数．
【1-3】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若，则”与命题“若，则”等价．
【答案】②④
【领悟技法】
1．四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；
（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；
（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．
注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面．
2．正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
3． 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
4． 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
【触类旁通】
【变式一】命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
【答案】D
【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若的三内角成等差数列，则有一内角为”，它是真命题．
【变式二】【2018河北衡水金卷四】下列结论中正确的个数是（ ）
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题“”的否定是“”；
③函数在区间内有且仅有两个零点．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 0
【答案】A
【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假，然后判断真命题的个数即可．
详解：逐一考查所给命题的真假：①若，则，反之未必成立，故“”是“”的充分不必要条件，该命题正确；
②命题“”的否定是“”，原命题错误；
③函数的零点即函数与函数交点的个数，
绘制函数图象如图所示，观察可知，交点的个数为1个，则零点的个数为1个，原命题错误．
综上可得，正确命题的个数为1个．故选A．
【名师点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可．否则，可利用以下结论进行判断：
①一个命题的否定与原命题肯定一真一假；②原命题与其逆否命题同真假．
考点2 充分必要条件的判定
【2-1】【2018天津滨海新区模拟】已知集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分析：该题属于不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题，根据题意求出集合，之后应用集合的关系判断充分必要性即可．
详解：利用绝对值不等式的求法求得，利用对数式有意义，真数大于零求得，因为是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．
【名师点睛】分别求出题中所给的集合A，B，结合集合的包含关系判断即可．
【2-2】【2018广东佛山二模】已知函数，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【2-3】设为向量．则是的（ ）
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也必要条件
【答案】Ｃ　
【解析】设向量的夹角为，若，，则，若，则，从而，是的充要条件．
【2-4】【2018江西新余二模】“”是“函数在区间上无零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点，则3x+m＞3，即m+1＞，解得m＞，故“m＞1“是“函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点的充分不必要条件，故选A．
【领悟技法】
充要关系的几种判断方法
（1）定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件．
（2）等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
（3） 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【触类旁通】
【变式一】【2018河北唐山二模】设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】如果为偶函数，则，
所以，所以“”是“ ”为偶函数的充要条件．故选C．
【变式二】以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】等比数列中，若，则由可得，，即或；若，则有，所以，，即．所以，“”是“”的必要而不充分条件．故选．
考点3 充分条件与必要条件的应用
【3-1】给定两个命题，，若是的必要而不充分条件，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件．
【3-2】【2018衡水信息卷一】已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】当为真时，．记集合A，．
若是的必要不充分条件，则．
①当，即时，；
②当时，等价于，解得．
综上所述，实数的取值范围为，故答案为．
【3-3】函数，有且只有一个零点的充分不必要条件是 (　　)
A． B． C． D．或
【答案】A
【领悟技法】
１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
（2）要注意区间端点值的检验．
２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性．此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）．
【触类旁通】
【变式一】【2018河北衡水金卷四】设： ，： ，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2}；设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1}，由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有
综合得m∈，故选D．
【变式二】【2018衡水金卷五】命题：若，则；命题：若，则恒成立．若的逆命题，的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】命题的逆命题：若，则，故．
命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则，，则实数的取值范围是．
【易错试题常警惕】
易错典例：已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是____________．
易错分析，（1）“”是“”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成必要条件；（2）从集合的角度看，若设，，则，学生容易看成．
正确解析：由题意知：是不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件．所以是的真子集．而，所以有，解得，所以的取值范围是．
温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【学科素养提升之思想方法篇】
转化与化归思想
转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法．转化与化归思想在本节中的应用主要是：（1）判断命题真假：原命题和其逆否命题同真同假，原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等
【典例】已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．
【答案】[9，＋∞)
【变式】已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，是的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
思想方法指导　等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．
【答案】[9，＋∞)
【解析】∵是的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．
即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．
又由≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．
设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，NM，
∴或解得m≥9．∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．
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