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开放性问题
一、选择题
无
二、填空题
1. 〔2022·四川乐山·3分〕高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.
例如：，.
那么以下结论：
①；
②；
假设，那么的取值范围是；
当时，的值为、、.
其中正确的结论有___▲__〔写出所有正确结论的序号〕.
答案：①③
解析：①，正确；
②取特殊值＝1时，，故错误；
假设，那么，即的取值范围是，正确；
当时，有，不能同时大于1小于2，
那么的值可取不到，错误。
2．〔2022·山西〕如图，点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，那么HG的长为
考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线；
分析：由勾股定理求出DA，
由平行得出，由角平分得出
从而得出，所以HE=HA．
再利用△DGH∽△DCA即可求出HE，
从而求出HG
解答：如图〔1〕由勾股定理可得
DA=
由 AE是的平分线可知
由CD⊥AB，BE⊥AB，EH⊥DC可知四边形GEBC为矩
形，∴HE∥AB，∴
∴
故EH=HA
设EH=HA=x
那么GH=x-2，DH=
∵HE∥AC ∴△DGH∽△DCA
∴即
解得x= 故HG=EH-EG=-2=
三、解答题
1．〔2022·山西〕〔此题12分〕综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼〞为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD〔〕沿对角线AC剪开，得到和．
操作发现
〔1〕将图1中的以A为旋转中心，逆时针方向旋转角，使 ，得到如图2所示的，分别延长BC和交于点E，那么四边形的状是菱形；〔2分〕
〔2〕创新小组将图1中的以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图3所示的，连接DB，，得到四边形，发现它是矩形．请你证明这个论；
〔3〕缜密小组在创新小组发现结论的根底上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将沿着射线DB方向平移acm，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；
〔4〕请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移，得到，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定，
矩形的判定正方形的判定
分析：〔1〕利用旋转的性质和菱形的判定证明
〔2〕利用旋转的性质以及矩形的判定证明
〔3〕利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情
况当点在边上和点在边的延长线上时．
〔4〕开放型题目，答对即可
解答：〔1〕菱形
〔2〕证明：作于点E．…………………………………………〔3分〕
由旋转得，．
四边形ABCD是菱形，，，，，同理，，又， 四边形是平行四边形，…………………〔4分〕
又，，，
∴四边形是矩形…………………………………………〔5分〕
〔3〕过点B作，垂足为F，
，
．
在Rt 中，，
在和中，， ．
∽，，即，解得，
，，．…………………〔7分〕
当四边形恰好为正方形时，分两种情况：
①点在边上．．…………………〔8分〕
②点在边的延长线上，．……………〔9分〕
综上所述，a的值为或．
〔4〕：答案不唯一．
例：画出正确图形．……………………………………〔10分〕
平移及构图方法：将沿着射线CA方向平移，平移距离为的长度，得到，
连接．………………………〔11分〕
结论：四边形是平行四边形……〔12分〕
2．〔2022·山西〕〔此题14分〕综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，点A，D的坐标分别为〔－2，0〕，〔6，－8〕．
〔1〕求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
〔2〕试探究抛物线上是否存在点F，使≌，假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为〔0，m〕，直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构成
分析：〔1〕将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式
点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标
点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令
其横坐标为，即可求出点E的坐标
〔2〕利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所
以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标
〔3〕根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解
解答：〔1〕抛物线经过点A〔－2，0〕，D〔6，－8〕，
解得…………………………………〔1分〕
抛物线的函数表达式为……………………………〔2分〕
，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为〔－2，0〕．点B的坐标为〔8，0〕…………………〔4分〕
设直线l的函数表达式为．点D〔6，－8〕在直线l上，6k=－8，解得．
直线l的函数表达式为………………………………………………………〔5分〕
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为〔3，－4〕……………………………………………………………………〔6分〕
〔2〕抛物线上存在点F，使≌．
点F的坐标为〔〕或〔〕．……………………………………〔8分〕
〔3〕解法一：分两种情况：
①当时，是等腰三角形．
点E的坐标为〔3，－4〕，，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，那么，……………………………………〔9分〕
点M的坐标为〔0，－5〕．
设直线ME的表达式为，，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为〔15，0〕…〔10分〕
又MH//PB，，即，……………………………〔11分〕
②当时，是等腰三角形．
当x=0时，，点C的坐标为〔0，－8〕，
，OE=CE，，又因为，，
，CE//PB………………………………………………………………〔12分〕
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，，点N的坐标为
〔6，0〕………………………………………………………………〔13分〕
CN//PB，，，解得………………〔14分〕
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．
解法二：
当x=0时， ，点C的坐标为〔0，－8〕，点E的坐标为
〔3，－4〕，，，OE=CE，，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：
① 当时，是等腰三角形．
，，CE//PB………………………………………〔9分〕
又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，，
，HM//y轴，
∽，……………………………………………………〔10分〕
………………………………………………………〔11分〕
②当时，是等腰三角形．
轴，∽，，……………〔12分〕
，，轴，∽，…………………………………………………〔13分〕
………………〔14分〕
当m的值为或时，是等腰三角形．
3．〔2022·湖北咸宁〕〔此题总分值7分〕证明命题“角的一局部线上的点到角的两边的距离相等〞，要根据题意，画出图形，并用符号表示和求证，写出证明过程. 下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的和求证.
：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上.
_____________________________________.
求证：______________________.
请你补全和求证，并写出证明过程.
【考点】全等三角形的判定和性质，命题的证明．
【分析】先补全和求证，再通过AAS证明△PDO≌△PDO全等即可.
【解答】解：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. ……………………….2分
PD=PE. ………………………………………………………….3分
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°…………………………...4分
在△PDO和△PDO中，
∠PDO=∠PEO
∠AOC=∠BOC，
OP=OP
∴△PDO≌△PDO〔AAS〕……….…………….6分
∴PD=PE. …………………………………………………7分
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，命题的证明．补全和求证并运用AAS证明三角形全等是解题的关键.
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