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2022年河南省中考数学试卷
一、选择题〔每题3分，共30分〕
1．〔3分〕以下各数中比1大的数是〔　　〕
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
2．〔3分〕2022年，我国国内生产总值到达74.4万亿元，数据“74.4万亿〞用科学记数法表示〔　　〕
A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015
3．〔3分〕某几何体的左视图如下列图，那么该几何体不可能是〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔3分〕解分式方程﹣2=，去分母得〔　　〕
A．1﹣2〔x﹣1〕=﹣3 B．1﹣2〔x﹣1〕=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3
5．〔3分〕八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，那么该同学这6次成绩的众数和中位数分别是〔　　〕
A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分
6．〔3分〕一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是〔　　〕
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．〔3分〕如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加以下条件不能判定▱ABCD是菱形的只有〔　　〕
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
8．〔3分〕如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．假设转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字〔当指针价好指在分界线上时，不记，重转〕，那么记录的两个数字都是正数的概率为〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔3分〕我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，那么点C的对应点C′的坐标为〔　　〕
A．〔，1〕 B．〔2，1〕 C．〔1，〕 D．〔2，〕
10．〔3分〕如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，那么图中阴影局部的面积是〔　　〕
A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
二、填空题〔每题3分，共15分〕
11．〔3分〕计算：23﹣=．
12．〔3分〕不等式组的解集是．
13．〔3分〕点A〔1，m〕，B〔2，n〕在反比例函数y=﹣的图象上，那么m与n的大小关系为．
14．〔3分〕如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线局部的最低点，那么△ABC的面积是．
15．〔3分〕如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，假设△MB′C为直角三角形，那么BM的长为．
三、解答题〔此题共8个小题，总分值75分〕
16．〔8分〕先化简，再求值：〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕，其中x=+1，y=﹣1．
17．〔9分〕为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校局部同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．
调查结果统计表
组别
分组〔单位：元〕
人数
A
0≤x＜30
4
B
30≤x＜60
16
C
60≤x＜90
a
D
90≤x＜120
b
E
x≥120
2
请根据以上图表，解答以下问题：
〔1〕填空：这次被调查的同学共有人，a+b=，m=；
〔2〕求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；
〔3〕该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数．
18．〔9分〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
〔1〕求证：BD=BF；
〔2〕假设AB=10，CD=4，求BC的长．
19．〔9分〕如下列图，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援〔参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41〕
20．〔9分〕如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=〔x＞0〕的图象交于点A〔m，3〕和B〔3，1〕．
〔1〕填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
〔2〕点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，假设△POD的面积为S，求S的取值范围．
21．〔10分〕学校“百变魔方〞社团准备购置A，B两种魔方，购置2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购置3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．
〔1〕求这两种魔方的单价；
〔2〕结合社员们的需求，社团决定购置A，B两种魔方共100个〔其中A种魔方不超过50个〕．某商店有两种优惠活动，如下列图．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购置魔方更实惠．
22．〔10分〕如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
〔1〕观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；
〔2〕探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
〔3〕拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，假设AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
23．〔11分〕如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A〔3，0〕，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．
〔1〕求点B的坐标和抛物线的解析式；
〔2〕M〔m，0〕为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，假设以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，假设三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点〔三点重合除外〕，那么称M，P，N三点为“共谐点〞．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点〞的m的值．
2022年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔每题3分，共30分〕
1．〔3分〕〔2022•河南〕以下各数中比1大的数是〔　　〕
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案．
【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，
应选：A．
【点评】此题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关键．
2．〔3分〕〔2022•河南〕2022年，我国国内生产总值到达74.4万亿元，数据“74.4万亿〞用科学记数法表示〔　　〕
A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013．
应选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．〔3分〕〔2022•河南〕某几何体的左视图如下列图，那么该几何体不可能是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】左视图是从左边看到的，据此求解．
【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1，
D不符合，
应选D．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大．
4．〔3分〕〔2022•河南〕解分式方程﹣2=，去分母得〔　　〕
A．1﹣2〔x﹣1〕=﹣3 B．1﹣2〔x﹣1〕=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3
【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x﹣1得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，
去分母得：1﹣2〔x﹣1〕=﹣3，
应选A
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
5．〔3分〕〔2022•河南〕八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，那么该同学这6次成绩的众数和中位数分别是〔　　〕
A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分
【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，此题得以解决．
【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，
故中位数为95分，
数据95出现了3次，最多，
故这组数据的众数是95分，
应选A．
【点评】此题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．
6．〔3分〕〔2022•河南〕一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是〔　　〕
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=〔﹣5〕2﹣4×2×〔﹣2〕=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
应选B．
【点评】此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．〔3分〕〔2022•河南〕如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加以下条件不能判定▱ABCD是菱形的只有〔　　〕
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
应选C．
【点评】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
8．〔3分〕〔2022•河南〕如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．假设转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字〔当指针价好指在分界线上时，不记，重转〕，那么记录的两个数字都是正数的概率为〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，
∴两个数字都是正数的概率是：=．
应选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．〔3分〕〔2022•河南〕我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，那么点C的对应点C′的坐标为〔　　〕
A．〔，1〕 B．〔2，1〕 C．〔1，〕 D．〔2，〕
【分析】由条件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′==，于是得到结论．
【解答】解：∵AD′=AD=2，
AO=AB=1，
∴OD′==，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C′〔2，〕，
应选D．
【点评】此题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
10．〔3分〕〔2022•河南〕如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，那么图中阴影局部的面积是〔　　〕
A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影局部的面积=S△B′O′B﹣〔S扇形O′OB﹣S△OO′B〕=×1×2﹣〔﹣×2×〕=2﹣．
应选C．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题〔每题3分，共15分〕
11．〔3分〕〔2022•河南〕计算：23﹣=　6　．
【分析】明确表示4的算术平方根，值为2．
【解答】解：23﹣=8﹣2=6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个根底题目，比较简单．
12．〔3分〕〔2022•河南〕不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式解集的公共局部．
【解答】解：
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
故答案为﹣1＜x≤2．
【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．
13．〔3分〕〔2022•河南〕点A〔1，m〕，B〔2，n〕在反比例函数y=﹣的图象上，那么m与n的大小关系为　m＜n　．
【分析】由反比例函数y=﹣可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y随x的增大而增大，根据这个判定那么可．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴A、B两点均在第四象限，
∴m＜n．
故答案为m＜n．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．
14．〔3分〕〔2022•河南〕如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线局部的最低点，那么△ABC的面积是　12　．
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC=5，
由于M是曲线局部的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线局部是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为：×4×6=12
故答案为：12
【点评】此题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，此题属于中等题型．
15．〔3分〕〔2022•河南〕如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，假设△MB′C为直角三角形，那么BM的长为+或1　．
【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．
【解答】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM=BC=+；
②如图2，当∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM=MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
综上所述，假设△MB′C为直角三角形，那么BM的长为+或1，
故答案为：+或1．
【点评】此题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题〔此题共8个小题，总分值75分〕
16．〔8分〕〔2022•河南〕先化简，再求值：〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕，其中x=+1，y=﹣1．
【分析】首先化简〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕，然后把x=+1，y=﹣1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕
=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
=9xy
当x=+1，y=﹣1时，
原式=9〔+1〕〔﹣1〕
=9×〔2﹣1〕
=9×1
=9
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
17．〔9分〕〔2022•河南〕为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校局部同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．
调查结果统计表
组别
分组〔单位：元〕
人数
A
0≤x＜30
4
B
30≤x＜60
16
C
60≤x＜90
a
D
90≤x＜120
b
E
x≥120
2
请根据以上图表，解答以下问题：
〔1〕填空：这次被调查的同学共有　50　人，a+b=　28　，m=　8　；
〔2〕求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；
〔3〕该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数．
【分析】〔1〕根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值；
〔2〕利用360°乘以对应的比例即可求解；
〔3〕利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：〔1〕调查的总人数是16÷32%=50〔人〕，
那么b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，
A组所占的百分比是=8%，那么m=8．
a+b=8+20=28．
故答案是：50，28，8；
〔2〕扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×=144°；
〔3〕每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数是1000×=560〔人〕．
【点评】此题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
18．〔9分〕〔2022•河南〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
〔1〕求证：BD=BF；
〔2〕假设AB=10，CD=4，求BC的长．
【分析】〔1〕根据圆周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可；
〔2〕求出AC=10，AD=6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】〔1〕证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴BD⊥AC，∠BDC=90°，
∵BF切⊙O于B，
∴AB⊥BF，
∵CF∥AB，
∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=∠FCB，
∵BD⊥AC，BF⊥CF，
∴BD=BF；
〔2〕解：∵AB=10，AB=AC，
∴AC=10，
∵CD=4，
∴AD=10﹣4=6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
19．〔9分〕〔2022•河南〕如下列图，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援〔参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41〕
【分析】如图作CE⊥AB于E．设AE=EC=x，那么BE=x﹣5，在Rt△BCE中，根据tan53°=，可得=，求出x，再求出BC、AC，分别求出A、B两船到C的时间，即可解决问题．
【解答】解：如图作CE⊥AB于E．
在Rt△ACE中，∵∠A=45°，
∴AE=EC，设AE=EC=x，那么BE=x﹣5，
在Rt△BCE中，
∵tan53°=，
∴=，
解得x=20，
∴AE=EC=20，
∴AC=20=28.2，
BC==25，
∴A船到C的时间≈=0.94小时，B船到C的时间==1小时，
∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．
【点评】此题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．〔9分〕〔2022•河南〕如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=〔x＞0〕的图象交于点A〔m，3〕和B〔3，1〕．
〔1〕填空：一次函数的解析式为　y=﹣x+4　，反比例函数的解析式为　y=；
〔2〕点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，假设△POD的面积为S，求S的取值范围．
【分析】〔1〕先将B〔3，1〕代入反比例函数即可求出k的值，然后将A代入反比例函数即可求出m的，再根据B两点的坐标即可求出一次函数的解析式．
〔2〕设P的坐标为〔x，y〕，由于点P在直线AB上，从而可知PD=y，OD=x，由题意可知：1≤x≤3，从而可求出S的范围
【解答】解：〔1〕将B〔3，1〕代入y=，
∴k=3，
将A〔m，3〕代入y=，
∴m=1，
∴A〔1，3〕，
将A〔1，3〕代入代入y=﹣x+b，
∴b=4，
∴y=﹣x+4
〔2〕设P〔x，y〕，
由〔1〕可知：1≤x≤3，
∴PD=y=﹣x+4，OD=x，
∴S=x〔﹣x+4〕，
∴由二次函数的图象可知：
S的取值范围为：≤S≤2
故答案为：〔1〕y=﹣x+4；y=．
【点评】此题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，此题属于中等题型．
21．〔10分〕〔2022•河南〕学校“百变魔方〞社团准备购置A，B两种魔方，购置2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购置3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．
〔1〕求这两种魔方的单价；
〔2〕结合社员们的需求，社团决定购置A，B两种魔方共100个〔其中A种魔方不超过50个〕．某商店有两种优惠活动，如下列图．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购置魔方更实惠．
【分析】〔按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答〕
〔1〕设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购置2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购置3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同〞，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
〔2〕设购进A种魔方m个〔0＜m≤50〕，总价格为w元，那么购进B种魔方〔100﹣m〕个，根据两种活动方案即可得出w活动一、w活动二关于m的函数关系式，再分别令w活动一＜w活动二、w活动一=w活动二和w活动一＞w活动二，解出m的取值范围，此题得解．
〔按购置3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答〕
〔1〕设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购置2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购置3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同〞，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
〔2〕设购进A种魔方m个〔0＜m≤50〕，总价格为w元，那么购进B种魔方〔100﹣m〕个，根据两种活动方案即可得出w活动一、w活动二关于m的函数关系式，再分别令w活动一＜w活动二、w活动一=w活动二和w活动一＞w活动二，解出m的取值范围，此题得解．
【解答】〔按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答〕
解：〔1〕设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．
〔2〕设购进A种魔方m个〔0＜m≤50〕，总价格为w元，那么购进B种魔方〔100﹣m〕个，
根据题意得：w活动一=20m×0.8+15〔100﹣m〕×0.4=10m+600；
w活动二=20m+15〔100﹣m﹣m〕=﹣10m+1500．
当w活动一＜w活动二时，有10m+600＜﹣10m+1500，
解得：m＜45；
当w活动一=w活动二时，有10m+600=﹣10m+1500，
解得：m=45；
当w活动一＞w活动二时，有10m+600＞﹣10m+1500，
解得：45＜m≤50．
综上所述：当m＜45时，选择活动一购置魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m＞45时，选择活动二购置魔方更实惠．
〔按购置3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答〕
解：〔1〕设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A种魔方的单价为26元/个，B种魔方的单价为13元/个．
〔2〕设购进A种魔方m个〔0＜m≤50〕，总价格为w元，那么购进B种魔方〔100﹣m〕个，
根据题意得：w活动一=26m×0.8+13〔100﹣m〕×0.4=15.6m+520；
w活动二=26m+13〔100﹣m﹣m〕=1300．
当w活动一＜w活动二时，有15.6m+520＜1300，
解得：m＜50；
当w活动一=w活动二时，有15.6m+520=1300，
解得：m=50；
当w活动一＞w活动二时，有15.6m+520＞1300，
不等式无解．
综上所述：当0＜m＜50时，选择活动一购置魔方更实惠；当m=50时，选择两种活动费用相同．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：〔1〕找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；〔2〕根据两种活动方案找出w活动一、w活动二关于m的函数关系式．
22．〔10分〕〔2022•河南〕如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
〔1〕观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM=PN　，位置关系是　PM⊥PN　；
〔2〕探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
〔3〕拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，假设AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【分析】〔1〕利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
〔2〕先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同〔1〕的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同〔1〕的方法即可得出结论；
〔3〕方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．
方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可．
【解答】解：〔1〕∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN，
〔2〕由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE〔SAS〕，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同〔1〕的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同〔1〕的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同〔1〕的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
〔3〕如图2，同〔2〕的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大=AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴AM=2，
在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，
∴MN最大=2+5=7，
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×〔7〕2=．
方法2、由〔2〕知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在AB的延长线上，
∴BD=AB+AD=14，
∴PM=7，
∴S△PMN最大=PM2=×72=
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解〔1〕的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解〔2〕的关键是判断出△ABD≌△ACE，解〔3〕的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大，是一道中考常考题．
23．〔11分〕〔2022•河南〕如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A〔3，0〕，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．
〔1〕求点B的坐标和抛物线的解析式；
〔2〕M〔m，0〕为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，假设以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，假设三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点〔三点重合除外〕，那么称M，P，N三点为“共谐点〞．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点〞的m的值．
【分析】〔1〕把A点坐标代入直线解析式可求得c，那么可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
〔2〕①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
〔1〕∵y=﹣x+c与x轴交于点A〔3，0〕，与y轴交于点B，
∴0=﹣2+c，解得c=2，
∴B〔0，2〕，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
〔2〕①由〔1〕可知直线解析式为y=﹣x+2，
∵M〔m，0〕为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P〔m，﹣m+2〕，N〔m，﹣m2+m+2〕，
∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣〔﹣m+2〕=﹣m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，那么有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴=，即=，解得m=0〔舍去〕或m=2.5，
∴M〔2.5，0〕；
当∠NBP=90°时，那么有=，
∵A〔3，0〕，B〔0，2〕，P〔m，﹣m+2〕，
∴BP==m，AP==〔3﹣m〕，
∴=，解得m=0〔舍去〕或m=，
∴M〔，0〕；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为〔2.5，0〕或〔，0〕；
②由①可知M〔m，0〕，P〔m，﹣m+2〕，N〔m，﹣m2+m+2〕，
∵M，P，N三点为“共谐点〞，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时，那么有2〔﹣m+2〕=﹣m2+m+2，解得m=3〔三点重合，舍去〕或m=；
当M为线段PN的中点时，那么有﹣m+2+〔﹣m2+m+2〕=0，解得m=3〔舍去〕或m=﹣1；
当N为线段PM的中点时，那么有﹣m+2=2〔﹣m2+m+2〕，解得m=3〔舍去〕或m=﹣；
综上可知当M，P，N三点成为“共谐点〞时m的值为或﹣1或﹣．
【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在〔2〕②中利用“共谐点〞的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．此题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．