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第二节 平面向量根本定理及坐标表示
A级·根底过关|固根基|
1.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，那么2a－3b等于( )
A．(6，3) B．(－2，－6)
C．(2，1) D．(7，2)
解析：选B 2a－3b＝(－2，0)－(0，6)＝(－2，－6)．
2．假设向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝，那么c可用向量a，b表示为( )
A．c＝a＋b B．c＝－a－b
C．c＝a＋b D．c＝a－b
解析：选A 设向量c＝xa＋yb，易知
∴∴c＝a＋b.应选A.
3.向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如下图，假设＝λ＋μ，那么λ＋μ等于( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：选A 如下图，建立平面直角坐标系xAy，
那么＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．
因为＝λ＋μ，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.应选A.
4．向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，假设(a－b)∥(2a＋tb)，那么t＝( )
A．0 B.
C．－2 D．－3
解析：选C 由题意得a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t，2＋2t)．因为(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t＝－2，应选C.
5．OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，假设点E满足＝3，那么点E的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 易知＝－＝(－1，－1)，那么C(－1，－1)，设E(x，y)，那么3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3，知
所以所以E.
6．(一题多解)(2023届合肥市第一次质检)设平面向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，那么向量b的坐标为( )
A. B．(－6，8)
C. D．(6，－8)
解析：选D 解法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t＞0)．又|b|＝10，那么9t2＋16t2＝100，解得t＝2，或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，应选D.
解法二：与a方向相反的单位向量为，
令b＝t(t＞0)，由|b|＝10，得t＝10，
所以b＝(6，－8)，应选D.
7．(2023届唐山模拟)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，假设＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，那么μ－λ＝( )
A．－ B．1
C. D．－3
解析：选A ＝λ－μ＝λ－μ(＋)＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以μ－λ＝－，应选A.
8．(2023届厦门模拟)||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，那么的值为( )
A．2 B.
C．3 D．4
解析：选C ∵·＝0，∴⊥.
以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么＝(1，0)，＝(0，)，∴＝m＋n＝(m，n)．
∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，应选C.
9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，那么向量的坐标为________．
解析：∵＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝－＝(－3，－5)．
答案：(－3，－5)
10．点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，假设＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，那么实数λ的值为________．
解析：设P(x，y)，那么由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，
所以
即x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.
又点P在直线x－2y＝0上，
故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
11．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出以下命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：由＝a，＝b，得＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
所以正确命题个数为3.
答案：3
12．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，假设＝λ＋μ，那么λ＋μ＝________．
解析：解法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xAy，如下图，
设正方形的边长为1，易得A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，M1，，N，1，＝，＝，
＝(1，1)．因为＝λ＋μ＝＝(1，1)，
所以解得所以λ＋μ＝.
解法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.
答案：
B级·素养提升|练能力|
13.假设α，β是平面内的一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，那么称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，那么a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为( )
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：选D 因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
14．(2023届南充模拟)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，假设＝λ＋μ，那么＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由题可得A(2，0)，B，C.因为＝λ＋μ，所以由向量相等的坐标表示可得解得所以＝，应选D.
15．(一题多解)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，假设＝x＋(1－x)，那么x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 解法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，那么有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，应选D.
解法二：∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x.∵O在线段CD(不含C，D两点)上，
∴0＜－3x＜1，
∴－＜x＜0.应选D.
16．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，假设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，那么λ＋μ的最大值为________．
解析：
建立如下图的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)．
∵AP＝，∴x2＋y2＝，
点P满足的约束条件为
∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)．
∴∴x＋y＝λ＋μ.
∵x＋y≤ ＝ ＝，
当且仅当x＝y时取等号，
∴λ＋μ的最大值为.
答案：
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