2023版高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及应用举例课时跟踪检测理新人教A版.doc

第三节　平面向量的数量积及应用举例
A级·根底过关
|固根基|
1.两个非零向量a与b的夹角为θ，那么“a·b>0〞是“θ为锐角〞的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0.应选B．
2．(2023届郑州一中高三入学测试)向量a，b均为单位向量，假设它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　)
A． B．
C． D．4
解析：选C　依题意得a·b＝，∴|a＋3b|＝＝，应选C．
3．(2023届山东模拟)非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.假设n⊥(tm＋n)，那么实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
解析：选B　由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝.又4|m|＝3|n|，∴t＝－3×＝－4.应选B．
4．(2023届东北联考)向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，那么a与b的夹角θ为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，
所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.
又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.应选C．
5．(2023届石家庄模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，·＝1，那么BC＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
解析：选D　设∠A＝θ，
因为＝－，AB＝4，AC＝3，
所以·＝·(－)＝2－·＝9－·＝1，即·＝8，所以cos θ＝＝＝，所以BC＝＝3.应选D．
6．向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，那么|b|的取值范围为(　　)
A．[1，2] B．[2，4]
C． D．
解析：选D　由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cos θ－2|b|2＝0，所以|b|cos θ＝1－2|b|2.因为－1≤cos θ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.应选D．
7．(2023届大同调研)在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D，E，使＝，＝3，那么·＋·＝(　　)
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选D　由＝2，得－＝2(－)，得＝＋.由＝3，得－＝3(－)，得＝－＋.
因为∠C＝，即⊥，所以·＝0.
所以·＋·＝·＋·＝2－2＝3，应选D．
8.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，那么·的值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B　因为＝2，r＝1，所以||＝，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝＋0－1＝－，应选B．
9．(2023届南宁市摸底联考)O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，那么△OBC的面积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A　∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，∴S△OBC＝S△ABC．∵·＝2，∴||·||·cos∠BAC＝2.又∠BAC＝60°，∴||·||＝4，∴S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为，应选A．
10．(2023届贵阳摸底)a，b均为单位向量，假设|a－2b|＝，那么a与b的夹角为________．
解析：由|a－2b|＝，得|a－2b|2＝3，即a2－4a·b＋4b2＝3，即1－4a·b＋4＝3，所以a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝.
答案：
11．(2023届南昌摸底调研)动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足＝，假设M是线段AB的中点，那么·的值为________．
解析：解法一：动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接OA，OB，因为|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形，于是不妨设动直线l为y＝(x＋2)，如下图，根据题意可得B(－2，0)，A(－1，)，因为M是线段AB的中点，所以M.设C(x，y)，因为＝，所以(－2－x，－y)＝(－1－x，－y)，
所以
解得所以C，所以·＝·＝＋＝3.
解法二：连接OA，OB，因为直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形．因为＝，所以＝＋＝＋＝＋－＝－.又M为AB的中点，所以＝＋，且与的夹角为60°，那么·＝·＝2－2＋||||cos 60°＝×4－×4＋×2×2×＝3.
答案：3
12.如图，O为坐标原点，向量＝(3cos x，3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈.
(1)求证：(－)⊥；
(2)假设△ABC是等腰三角形，求x的值．
解：(1)证明：∵－＝(0，2sin x)，
∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0，
∴(－)⊥.
(2)假设△ABC是等腰三角形，那么AB＝BC，
∴(2sin x)2＝(3cos x－)2＋sin2x，
整理得2cos2x－cos x＝0，
解得cos x＝0，或cos x＝.
∵x∈，∴cos x＝，即x＝.
B级·素养提升
|练能力|
13.(2023届洛阳市第一次联考)点O是锐角三角形ABC的外心，假设＝m＋n(m，n∈R)，那么(　　)
A．m＋n≤－2 B．－2≤m＋n<－1
C．m＋n<－1 D．－1<m＋n<0
解析：选C　因为点O是锐角三角形ABC的外心，所以O在三角形内部，那么m<0，n<0.不妨设锐角三角形ABC的外接圆的半径为1，因为＝m＋n，所以2＝m22＋n22＋2mn·.设向量，的夹角为θ，那么1＝m2＋n2＋2mncos θ<m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2，所以m＋n<－1或m＋n>1(舍去)，所以m＋n<－1，应选C．
14．点P是圆x2＋y2＝4上的动点，点A，B，C在以坐标原点O为圆心的单位圆上运动，且·＝0，那么|＋＋|的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C　由A，B，C三点在圆x2＋y2＝1上，且·＝0，得AC是该圆的直径．设，的夹角为θ，θ∈[0，π]，那么|＋＋|＝|2＋|＝|3＋|＝＝＝＝，当θ＝0时，|＋＋|取得最大值7，应选C．
15．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P是AB边上的点，＝λ，假设·≥·，那么实数λ的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：选A　以点C为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，那么C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，所以＝(－1，1)．因为点P在线段AB上，＝λ，所以＝(－λ，λ)，所以P(1－λ，λ)，所以＝(1－λ，λ)，＝(λ－1，1－λ)，λ∈[0，1]．
因为·≥·，所以(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)，化简得2λ2－4λ＋1≤0，解得≤λ≤.因为λ∈[0，1]，所以≤λ≤1，所以λ的最大值是1.应选A．
16.如图，在平行四边形ABCD中，||＝，向量在方向上的投影为1，且·＝0，点P在线段CD上，那么·的取值范围为________．
解析：解法一：由题意知∠DAB＝45°，且||＝1，设||＝x，那么0≤x≤1，因为＝＋，＝＋＝＋，所以·＝(－－)·(－－)＝2＋·＋·＋·＝2＋(1－x)cos 135°＋xcos 45°－x(1－x)＝x2＋x＋1＝＋∈[1，3]．
解法二：由题意可知，DB⊥AB，以B为坐标原点，AB及BD所在直线分别为x轴，y轴建立如下图的平面直角坐标系．由题意知B(0，0)，A(－1，0)，设P(x，1)，其中0≤x≤1，那么·＝(－1－x，－1)·(－x，－1)＝x2＋x＋1＝＋∈[1，3]．
答案：[1，3]
17．△ABC的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足＝3，＝2，连接AD，BE交于点F，那么△ABF的面积为________．
解析：解法一：如图，连接CF，由于B，F，E三点共线，因而可设＝λ＋(1－λ).∵＝3，CD＝2，∴＝λ＋(1－λ).又A，F，D三点共线，∴λ＋(1－λ)＝1，解得λ＝，∴＝＋＝＋.∵＝－＝－，＝－＝－，∴F为AD的中点，因而S△ABF＝S△ABD＝S△ABC＝4.
解法二：如图，过D作AC的平行线，交BE于H，那么由＝2，得DHCE，又＝3，因而DHEA，△AEF≌△DHF，那么F为AD的中点，因而S△ABF＝S△ABD＝S△ABC＝4.
答案：4
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