2022年福建省福州市中考数学试卷解析.docx

2022年福建省福州市中考数学试卷
一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．〔3分〕〔2022•福州〕a的相反数是〔　　〕

A．
|a|
B．

C．
﹣a
D．

2．〔3分〕〔2022•福州〕以下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

3．〔3分〕〔2022•福州〕不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

4．〔3分〕〔2022•福州〕计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为〔　　〕

A．
0.1×107
B．
0.1×106
C．
1×107
D．
1×106
5．〔3分〕〔2022•福州〕以下选项中，显示局部在总体中所占百分比的统计图是〔　　〕

A．
扇形图
B．
条形图
C．
折线图
D．
直方图
6．〔3分〕〔2022•福州〕计算a•a﹣1的结果为〔　　〕

A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
﹣a
7．〔3分〕〔2022•福州〕如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，那么原点是〔　　〕

A．
A点
B．
B点
C．
C点
D．
D点
8．〔3分〕〔2022•福州〕如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为〔　　〕

A．
80°
B．
90°
C．
100°
D．
105°
9．〔3分〕〔2022•福州〕假设一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，那么实数x的值不可能是〔　　〕

A．
0
B．
2.5
C．
3
D．
5
10．〔3分〕〔2022•福州〕一个函数图象经过〔1，﹣4〕，〔2，﹣2〕两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，那么符合上述条件的函数可能是〔　　〕

A．
正比例函数
B．
一次函数
C．
反比例函数
D．
二次函数
二、填空题〔共6小题，总分值24分〕
11．〔4分〕〔2022•福州〕分解因式a2﹣9的结果是．
12．〔4分〕〔2022•福州〕计算〔x﹣1〕〔x+2〕的结果是．
13．〔4分〕〔2022•福州〕一个反比例函数图象过点A〔﹣2，﹣3〕，那么这个反比例函数的解析式是．
14．〔4分〕〔2022•福州〕一组数据：2022，2022，2022，2022，2022，2022的方差是．
15．〔4分〕〔2022•福州〕一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如下列图，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，假设圆柱底面周长为2πcm，那么正方体的体积为cm3．
16．〔4分〕〔2022•福州〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是．
三、解答题〔共10小题，总分值96分〕
17．〔7分〕〔2022•福州〕计算：〔﹣1〕2022+sin30°+〔2﹣〕〔2+〕．
18．〔7分〕〔2022•福州〕化简：﹣．
19．〔8分〕〔2022•福州〕如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
20．〔8分〕〔2022•福州〕关于x的方程x2+〔2m﹣1〕x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
21．〔9分〕〔2022•福州〕有48支队520名运发动参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运发动只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支
22．〔9分〕〔2022•福州〕一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差异．
〔1〕当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同〔在答题卡相应位置填“相同〞或“不相同〞〕；
〔2〕从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，那么n的值是；
〔3〕在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：
根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．
23．〔10分〕〔2022•福州〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．
〔1〕求证：AB为⊙C的切线；
〔2〕求图中阴影局部的面积．
24．〔12分〕〔2022•福州〕定义：长宽比为：1〔n为正整数〕的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
那么四边形BCEF为矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，那么BD==．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，那么四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴=，即=．
∴BF=．
∴BC：BF=1：=：1．
∴四边形BCEF为矩形．
阅读以上内容，答复以下问题：
〔1〕在图①中，所有与CH相等的线段是，tan∠HBC的值是；
〔2〕四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；
〔3〕将图②中的矩形BCMN沿用〔2〕中的方式操作3次后，得到一个“矩形〞，那么n的值是．
25．〔13分〕〔2022•福州〕如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
〔1〕求证：DM=DA；
〔2〕点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
〔3〕在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，假设BG=1，求EH的长．
26．〔13分〕〔2022•福州〕如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
〔1〕这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；
〔2〕假设两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；
〔3〕当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C〔2，2〕的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．
2022年福建省福州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．〔3分〕〔2022•福州〕a的相反数是〔　　〕

A．
|a|
B．

C．
﹣a
D．

考点：
实数的性质．菁优网版权所有
分析：
根据相反数的概念解答即可．
解答：
解：a的相反数是﹣a．
应选：C．
点评：
此题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上一个“﹣〞号．
2．〔3分〕〔2022•福州〕以下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
平行线的判定．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用平行线的判定方法判断即可．
解答：
解：如下列图：

∵∠1=∠2〔〕，
∴AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕，
应选B
点评：
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解此题的关键．
3．〔3分〕〔2022•福州〕不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
分析：
首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组的解集是﹣1≤x＜2；然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
解答：
解：不等式组的解集是：
﹣1≤x＜2，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
．
应选：A．
点评：
〔1〕此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共局部，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
〔2〕此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定〞：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，假设边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原那么是：“小于向左，大于向右〞．
4．〔3分〕〔2022•福州〕计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为〔　　〕

A．
0.1×107
B．
0.1×106
C．
1×107
D．
1×106
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
直接根据乘法分配律即可求解．
解答：
解：3.8×107﹣3.7×107
=〔3.8﹣3.7〕×107
=0.1×107
=1×106．
应选：D．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．
5．〔3分〕〔2022•福州〕以下选项中，显示局部在总体中所占百分比的统计图是〔　　〕

A．
扇形图
B．
条形图
C．
折线图
D．
直方图
考点：
统计图的选择．菁优网版权所有
分析：
根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是局部在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个工程的具体数目．
解答：
解：在进行数据描述时，要显示局部在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图；
应选：A．
点评：
此题考查统计图的选择，解决此题的关键是明确：扇形统计图表示的是局部在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个工程的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差异．
6．〔3分〕〔2022•福州〕计算a•a﹣1的结果为〔　　〕

A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
﹣a
考点：
分式的乘除法；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析：
利用同底数幂的乘法，零指数幂的计算法那么计算即可得到结果．
解答：
解：a•a﹣1=a0=1．
应选：C．
点评：
此题考查了同底数幂的乘法，零指数幂运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
7．〔3分〕〔2022•福州〕如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，那么原点是〔　　〕

A．
A点
B．
B点
C．
C点
D．
D点
考点：
关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．菁优网版权所有
分析：
以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
解答：
解：当以点B为原点时，
A〔﹣1，﹣1〕，C〔1，﹣1〕，
那么点A和点C关于y轴对称，
符合条件，
应选：B．
点评：
此题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标确实定方法和对称的性质是解题的关键．
8．〔3分〕〔2022•福州〕如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为〔　　〕

A．
80°
B．
90°
C．
100°
D．
105°
考点：
等腰三角形的性质；作图—根本作图．菁优网版权所有
分析：
根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．
解答：
解：如图，，
AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，
因为直径对的圆周角是90°，
所以∠AMB=90°，
所以测量∠AMB的度数，结果为90°．
应选：B．
点评：
〔1〕此题主要考查了作图﹣根本作图的方法，要熟练掌握，注意结合根本的几何图形的性质．
〔2〕此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．
9．〔3分〕〔2022•福州〕假设一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，那么实数x的值不可能是〔　　〕

A．
0
B．
2.5
C．
3
D．
5
考点：
中位数；算术平均数．菁优网版权所有
分析：
因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大〔或从大到小〕排列在中间；结尾；开始的位置．
解答：
解：〔1〕将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，
处于中间位置的数是3，
∴中位数是3，
平均数为〔1+2+3+4+x〕÷5，
∴3=〔1+2+3+4+x〕÷5，
解得x=5；符合排列顺序；
〔2〕将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，
中位数是3，
此时平均数是〔1+2+3+4+x〕÷5=3，
解得x=5，不符合排列顺序；
〔3〕将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，
中位数是2，
平均数〔1+2+3+4+x〕÷5=2，
解得x=0，不符合排列顺序；
〔4〕将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，
中位数是2，
平均数〔1+2+3+4+x〕÷5=2，
解得x=0，符合排列顺序；
〔5〕将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，
中位数，x，
平均数〔1+2+3+4+x〕÷5=x，
解得x=2.5，符合排列顺序；
∴x的值为0、2.5或5．
应选C．
点评：
此题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求；如果是偶数个，那么找中间两位数的平均数
10．〔3分〕〔2022•福州〕一个函数图象经过〔1，﹣4〕，〔2，﹣2〕两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，那么符合上述条件的函数可能是〔　　〕

A．
正比例函数
B．
一次函数
C．
反比例函数
D．
二次函数
考点：
二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有
分析：
求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．
解答：
解：设一次函数解析式为：y=kx+b，
由题意得，，
解得，，
∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴A、B错误，
设反比例函数解析式为：y=，
由题意得，k=﹣4，
k＜0，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，
∴C错误，
当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．
应选：D．
点评：
此题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．
二、填空题〔共6小题，总分值24分〕
11．〔4分〕〔2022•福州〕分解因式a2﹣9的结果是　〔a+3〕〔a﹣3〕　．
考点：
因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
分析：
直接运用平方差公式分解即可．
解答：
解：a2﹣9=〔a+3〕〔a﹣3〕．
故答案为：〔a+3〕〔a﹣3〕．
点评：
此题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
12．〔4分〕〔2022•福州〕计算〔x﹣1〕〔x+2〕的结果是　x2+x﹣2　．
考点：
多项式乘多项式．菁优网版权所有
分析：
根据多项式乘以多项式的法那么，可表示为〔a+b〕〔m+n〕=am+an+bm+bn，计算即可．
解答：
解：〔x﹣1〕〔x+2〕
=x2+2x﹣x﹣2
=x2+x﹣2．
故答案为：x2+x﹣2．
点评：
此题主要考查多项式乘以多项式的法那么．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
13．〔4分〕〔2022•福州〕一个反比例函数图象过点A〔﹣2，﹣3〕，那么这个反比例函数的解析式是．
考点：
待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
分析：
设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式．
解答：
解：设这个反比例函数解析式为y=，
∴=﹣3，
解得k=6，
∴这个反比例函数的解析式是y=．
故答案为：y=．
点评：
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，此题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．
14．〔4分〕〔2022•福州〕一组数据：2022，2022，2022，2022，2022，2022的方差是　0　．
考点：
方差．菁优网版权所有
分析：
方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2022，2022，2022，2022，2022，2022全部相等，没有波动，故其方差为0．
解答：
解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为0．
故答案为：0．
点评：
此题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，说明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，说明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．〔4分〕〔2022•福州〕一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如下列图，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，假设圆柱底面周长为2πcm，那么正方体的体积为　2cm3．
考点：
圆柱的计算．菁优网版权所有
分析：
作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．
解答：
解：该几何体的俯视图如图：
∵圆柱底面周长为2πcm，
∴OA=OB=1cm，
∵∠AOB=90°，
∴AB=OA=，
∴该正方体的体积为〔〕3=2，
故答案为：2．

点评：
此题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．
16．〔4分〕〔2022•福州〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是+1　．
考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：
如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．
解答：
解：如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=，
∴AC=2=CM=2，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，
∴BM=BO+OM=1+，
故答案为：1+．

点评：
此题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题〔共10小题，总分值96分〕
17．〔7分〕〔2022•福州〕计算：〔﹣1〕2022+sin30°+〔2﹣〕〔2+〕．
考点：
二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
分析：
运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．
解答：
解：原式=﹣1++4﹣3
=．
点评：
该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法那么是正确进行代数运算的根底和关键．
18．〔7分〕〔2022•福州〕化简：﹣．
考点：
分式的加减法．菁优网版权所有
分析：
根据同分母分式的减法法那么计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项后约分计算即可求解．
解答：
解：﹣
=
=
=1．
点评：
考查了同分母分式加减法法那么：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；完全平方公式，合并同类项．
19．〔8分〕〔2022•福州〕如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．
考点：
全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．
解答：
证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中，，
∴△ABC≌△ABD〔ASA〕，
∴AC=AD．
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．〔8分〕〔2022•福州〕关于x的方程x2+〔2m﹣1〕x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
考点：
根的判别式．菁优网版权所有
分析：
先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．
解答：
解：∵x2+〔2m﹣1〕x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=〔2m﹣1〕2﹣4×4=0，
解得m=﹣或m=．
点评：
此题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．
21．〔9分〕〔2022•福州〕有48支队520名运发动参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运发动只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支
考点：
二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析：
设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有48支队，520名运发动建立方程组求出其解即可．
解答：
解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得
，
解得：．
答：篮球队有28支，排球队有20支．
点评：
此题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．
22．〔9分〕〔2022•福州〕一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差异．
〔1〕当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同〔在答题卡相应位置填“相同〞或“不相同〞〕；
〔2〕从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，那么n的值是　2　；
〔3〕在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：
根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．
考点：
列表法与树状图法；概率公式；利用频率估计概率．菁优网版权所有
分析：
〔1〕因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；
〔2〕根据摸到绿球的频率稳定于0.25，即可求出n的值；
〔3〕根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率．
解答：
解：〔1〕当n=1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，
故答案为：相同；
〔2〕∵摸到绿球的频率稳定于0.25，
∴，
∴n=2，
故答案为：2；
〔3〕由树状图可知，共有12种结果，其中两次摸出的球颜色不同的10种，
所以其概率=．
点评：
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．〔10分〕〔2022•福州〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．
〔1〕求证：AB为⊙C的切线；
〔2〕求图中阴影局部的面积．
考点：
切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=2，那么可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；
〔2〕根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影局部=S△ACB﹣S扇形CDE进行计算即可．
解答：
〔1〕证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，
在Rt△ABC中，∵tanB==，
∴BC=2AC=2，
∴AB===5，
∵CH•AB=AC•BC，
∴CH==2，
∵⊙C的半径为2，
∴CH为⊙C的半径，
而CH⊥AB，
∴AB为⊙C的切线；
〔2〕解：S阴影局部=S△ACB﹣S扇形CDE
=×2×5﹣
=5﹣π．

点评：
此题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．
24．〔12分〕〔2022•福州〕定义：长宽比为：1〔n为正整数〕的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
那么四边形BCEF为矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，那么BD==．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，那么四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴=，即=．
∴BF=．
∴BC：BF=1：=：1．
∴四边形BCEF为矩形．
阅读以上内容，答复以下问题：
〔1〕在图①中，所有与CH相等的线段是　GH、DG　，tan∠HBC的值是﹣1　；
〔2〕四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；
〔3〕将图②中的矩形BCMN沿用〔2〕中的方式操作3次后，得到一个“矩形〞，那么n的值是　6　．
考点：
几何变换综合题；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；平行线分线段成比例．菁优网版权所有
专题：
阅读型；新定义．
分析：
〔1〕由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，那么有DG=GH=x，DH=x，根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；
〔2〕只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形〞的方法就可解决问题；
〔3〕同〔2〕中的证明可得：将矩形沿用〔2〕中的方式操作1次后，得到一个“矩形〞，将矩形沿用〔2〕中的方式操作1次后，得到一个“矩形〞，将矩形沿用〔2〕中的方式操作1次后，得到一个“矩形〞，由此就可得到n的值．
解答：
解：〔1〕由折叠可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
设HC=x，那么DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，∴DH=x，
∴DC=DH+CH=x+x=1，
解得x=．
∴tan∠HBC===．
故答案为：GH、DG，；

〔2〕∵BC=1，EC=BF=，
∴BE==．
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴=，即BP•BF=BE•BN，
∴1×=，2BN
∴BN=，
∴BC：BN=1：=：1，
∴四边形BCMN是的矩形；

〔3〕同理可得：
将矩形沿用〔2〕中的方式操作1次后，得到一个“矩形〞，
将矩形沿用〔2〕中的方式操作1次后，得到一个“矩形〞，
将矩形沿用〔2〕中的方式操作1次后，得到一个“矩形〞，
所以将图②中的矩形BCMN沿用〔2〕中的方式操作3次后，得到一个“矩形〞，
故答案为6．

点评：
此题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．
25．〔13分〕〔2022•福州〕如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
〔1〕求证：DM=DA；
〔2〕点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
〔3〕在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，假设BG=1，求EH的长．
考点：
相似形综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
〔2〕由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；
〔3〕通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．
解答：
〔1〕证明：如图1所示，
∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
〔2〕证明：如图2所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠DGE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
〔3〕解：如图3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴，
∴BD2=BG•BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=EFH，
又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴，
∴EF2=EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BG•BE=EH•EC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．

点评：
此题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．
26．〔13分〕〔2022•福州〕如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
〔1〕这条抛物线的对称轴是　2　，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是　45°　；
〔2〕假设两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；
〔3〕当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C〔2，2〕的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；
〔2〕分三种情况分别讨论根据条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；
〔3〕①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，那么△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，那么DQ﹣a，得出PD•DQ≤a〔6﹣a〕=﹣a2+6a=﹣〔a﹣3〕2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．
解答：
解：〔1〕∵y=x2﹣4x=〔x﹣2〕2﹣4，
∴抛物线的对称轴是x=2，
∵直线y=x+m，
∴直线与坐标轴的交点坐标为〔﹣m，0〕，〔0，m〕，
∴交点到原点的距离相等，
∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
故答案为x=2、45°．
〔2〕设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；
①当点B落在线段OA上时，如图①，
==，
由△OBE∽△ABF得，==，
∴AB=3OB，
∴OB=OA，
由y=x2﹣4x得点A〔4，0〕，
∴OB=1，
∴B〔1，0〕，
∴1+m=0，
∴m=﹣1；
②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，
∴B〔﹣2，0〕，
∴﹣2+m=0，
∴m=2，
综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；
〔3〕①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，
∵∠CDQ=45°+45°=90°，
∴AD⊥PH，
∴DQ=DH，
∴PD+DQ=PH，
过P点作PM⊥CH于点M，那么△PMH是等腰直角三角形，
∴PH=PM，
∴当PM最大时，PH最大，
∴当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，
∴PH的最大值为6，
即PD+DQ的最大值为6．
②由①可知：PD+PH≤6，
设PD=a，那么DQ﹣a，
∴PD•DQ≤a〔6﹣a〕=﹣a2+6a=﹣〔a﹣3〕2+18，
∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，
∴PD•DQ≤18．
∴PD•DQ的最大值为18．

点评：
此题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和性质，难度较大．

菁优网
2022年7月24日