四川省2017年高考理科数学试题及答案.pdf

1 四川省 2017 年高考理科数学试题及答案（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=22(,)1x yxy，B=(,)x yyx，则 AB中元素的个数为A3 B 2 C1 D0 2设复数z 满足(1+i)z=2i，则 z=A12B22C2D 2 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对7月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A-80 B-40 C40 D80 5 已知双曲线C：22221xyab(a 0,b 0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆2 221123xy有公共焦点，则C的方程为A221810 xy B22145xy C22154xyD22143xy6设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为-2By=f(x)的图像关于直线x=83对称Cf(x+)的一个零点为x=6Df(x)在(2,)单调递减7执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A5 B 4 C3 D 2 8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为AB34C2D49等差数列na的首项为1，公差不为0若 a2，a3，a6成等比数列，则na前 6 项的和为A-24 B-3 C3 D8 10已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为A63B33C23D1311已知函数211()2()xxf xxxa ee有唯一零点，则a=A12B13C12D1 12在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C为圆心且与BD相切的圆上若AP=AB+AD，3 则+的最大值为A3 B 22C5D2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13若x，y满足约束条件y0200 xxyy，则z34xy的最小值为 _14设等比数列na满足 a1+a2=1,a1 a3=3，则 a4=_ 15设函数10()20 xxxf xx，则满足1()()12f xf x的 x 的取值范围是_。16 a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b 都垂直，斜边AB以直线 AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与 a 成 60角时，AB与 b 成 30角；当直线AB与 a 成 60角时，AB与 b 成 60角；直线 AB与 a 所称角的最小值为45；直线 AB与 a 所称角的最小值为60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sinA+3cosA=0，a=27,b=2（1）求 c；（2）设 D为 BC边上一点，且AD AC,求 ABD的面积18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年4 六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19（12 分）如图，四面体ABCD 中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD 平面 ABC；（2）过 AC的平面交BD于点 E，若平面 AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAE C的余弦值20（12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l 交 C与 A,B 两点，圆M是以线段 AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆 M上；（2）设圆 M过点 P（4，-2），求直线l 与圆 M的方程21（12 分）已知函数()f x=x 1alnx（1）若()0f x，求 a 的值；（2）设 m为整数，且对于任意正整数n，21111+1+)222n()(1)(m，求 m的最小值（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1的参数方程为2+,xtykt（t 为参数），直线l2的参数方程为5 2,xmmmyk（为参数）设 l1与 l2的交点为P，当 k 变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出 C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos+sin)-2=0，M 为 l3与 C的交点，求M的极径23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x+1 x2（1）求不等式f（x）1 的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m 的解集非空，求m的取值范围更多免费有关高考免费资料请加Q.Q群 613441314 6 参考答案一、选择题：1B 2 C 3A 4 C 5B 6D 7D 8 B 9A 10A 11 C 12 A 11、【解析】由条件，211()2(ee)xxf xxxa，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)2(ee)xxxxxxfxxxaxxxaxxa(2)()fxf x，即1x为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，()f x 的零点只能为1x，即21 11 1(1)12 1(ee)0fa，解得12a12、【解析】由题意，画出右图设BD与C切于点E，连接CE以A为原点，AD为 x 轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1)|1CD，|2BC22125BDBD切C于点ECEBDCE是RtBCD中斜边BD上的高12|2222|5|55BCDBCCDSECBDBD即C的半径为255P在C上P点的轨迹方程为224(2)(1)5xy设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：()A ODxyBPgCE7 00225cos5215sin5xy而00(,)APxy，(0,1)AB，(2,0)AD(0,1)(2,0)(2,)APABAD0151cos25x，0215sin5y两式相加得：222515sin1cos552 552()()sin()552sin()3 (其中5sin5，2 5cos5)当且仅当2 2k，kZ 时，取得最大值3二、填空题：131 148 151,4 1616、【解析】由题意知，abAC、三条直线两两相互垂直，画出图形如图不妨设图中所示正方体边长为1，故|1AC，2AB，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆以C为坐标原点，以CD 为 x轴正方向，CB 为y轴正方向，CA为 z 轴正方向建立空间直角坐标系则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线 a的方向单位向量(0,1,0)a，|1aB点起始坐标为(0,1,0)，直线b的方向单位向量(1,0,0)b，|1b设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，8 其中为B C与CD的夹角，0,2 )那么AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，|2AB设AB与 a所成夹角为0,2，则(cos,sin,1)(0,1,0)22cos|sin|0,22a AB故,4 2，所以正确，错误设AB与b所成夹角为0,2，cos(cos,sin,1)(1,0,0)2|cos|2ABbb ABb AB.当AB与 a夹角为60时，即3，12sin2cos2 cos232222cossin1，2|cos|221cos|cos|220,2=3，此时AB与b夹角为60正确，错误三、解答题：17（1）由 sin3cos0AA得2sin03A，即3AkkZ，又0,A，3A，得23A.9 由余弦定理2222cosabcbcA.又12 7,2,cos2abA代入并整理得2125c，故4c.（2）2,2 7,4ACBCAB，由余弦定理2222 7cos27abcCab.ACAD，即ACD为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理223ADCDAC.又23A，则2 326DAB，1sin326ABDSADAB.18易知需求量x可取 200,300,50021612003035P X3623003035P X257425003035P X.则分布列为：152525当200n 时：642Ynn，此时max400Y，当200n时取到.当200300n 时：4122002200255Ynn880026800555nnn此时max520Y，当300n时取到.当300500n 时，12220022002300230022555Ynnn10 320025n此时520Y.当500n 时，易知Y一定小于的情况.综上所述：当300n时，Y取到最大值为520.19取AC中点为O，连接BO，DO；ABC为等边三角形BOACABBCABBCBDBDABDDBCABDCBD.ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADC为直角又O为底边AC中点DOAC令ABa，则ABACBCBDa易得：22ODa，32OBa222ODOBBD由勾股定理的逆定理可得2DOB即ODOBODACODOBACOBOACABCOBABC平面平面ODABC平面又 ODADC平面由面面垂直的判定定理可得ADCABC平面平面由题意可知VVDACEBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点DABCEODABCEyxOz11 以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为 z 轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则0,0,0O，,0,02aA，0,0,2aD，30,02Ba，30,44aEa易得：3,244aaAEa，,0,22aaAD，,0,02aOA设平面AED的法向量为1n，平面AEC的法向量为2n，则1100AE nAD n，解得13,1,3n2200AE nOA n，解得20,1,3n若二面角DAEC为，易知为锐角，则12127cos7nnnn20显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设:2lxmy，11(,)A xy，22(,)B xy，联立：222yxxmy得2240ymy，2416m恒大于0，122yym，124y y12(2)(2)mymy21212(1)2()4my ym yy24(1)2(2)4mmm0，即O在圆M上 若圆M过点P，则1212(4)(4)(2)(2)0 xxyy1212(2)(2)(2)(2)0mymyyy21212(1)(22)()80my ymyy化简得2210mm解得12m或112 当12m时，:240lxy圆心为00(,)Q xy，120122yyy，0019224xy，半径2291|42rOQ则圆229185:()()4216Mxy当1m时，:20lxy圆心为00(,)Q xy，12012yyy，0023xy，半径22|31rOQ则圆22:(3)(1)10Mxy21()1lnf xxax，0 x则()1axafxxx，且(1)0f当0a 时，0fx，fx 在 0，上单调增，所以01x时，0fx，不满足题意；当0a时，当 0 xa 时，()0fx，则()f x 在(0,)a 上单调递减；当xa时，()0fx，则()f x 在(,)a上单调递增若1a，()f x 在(,1)a上单调递增当(,1)xa时()(1)0f xf矛盾若1a，()f x 在(1,)a 上单调递减当(1,)xa 时()(1)0f xf矛盾若1a，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增()(1)0f xf满足题意综上所述1a当1a时()1ln0f xxx即ln1xx则有 ln(1)xx当且仅当0 x时等号成立11ln(1)22kk，*kN一方面：221111111ln(1)ln(1).ln(1).112222222nnn，即2111(1)(1).(1)e222n另一方面：223111111135(1)(1).(1)(1)(1)(1)222222264n13 当3n 时，2111(1)(1).(1)(2,e)222n*mN，2111(1)(1).(1)222nm，m 的最小值为322将参数方程转化为一般方程1:2lyk x21:2lyxk消k可得：224xy即P的轨迹方程为224xy；将参数方程转化为一般方程3:20lxy联立曲线C和3l22204xyxy解得3 2222xy由cossinxy解得5即M的极半径是523|1|2|fxxx可等价为3,121,123,2xfxxxx.由1f x 可得：当1x时显然不满足题意；当12x时，211x，解得1x；当2x时，31fx恒成立.综上，1fx的解集为|1x x.不等式2f xxxm等价为2fxxxm，令2g xfxxx，则g xm解集非空只需要maxg xm.14 而2223,131,123,2xxxg xxxxxxx.当1x时，max13115g xg；当12x时，2max3335312224g xg；当2x时，2max22231g xg.综上，max54g x，故54m.