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第十讲 整式及乘法公式
教学目标：
1．会推导乘法公式，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法计算。
2．掌握整式的混合运算，能灵活的运用运算律与乘法公式的简化运算。
3．熟悉整式的乘除的转化，深化对相关性质和公式的理解。
重点难点：
1．同底数幂的乘法，幂的乘方法则和积的乘方法则。
2．单项式乘法法则，单项式与多项式及多项式与多项式的乘法法则。
3．平方差公式和完全平方差公式的运用。
知识导航：
一、基本概念
1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 a m × a n = a m+n （m、n 都是正整数）
2．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。即 (a m )n = a mn （m、n 都是正整数）
3．积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (ab)n = a n b n （n 为整数） 二、整式的乘除
①幂的运算性质：
②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式．
③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子 表达：
④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每
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一项，再把所得的积相加．用式子表达：
平方差公式： 完全平方公式：
在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不
变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式．
⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
考点/易错点 1
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 am × an × a p = am+n+ p （ m, n,
p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数
之和等于原来的幂的指数。即 am+n = am × an （ m,
n 都是正整数）.
（4）公式 (am )n = amn 的推广： ((am )n ) p = amnp ( a ¹ 0 ， m, n, p 均为正整数)
（5）逆用公式：amn = (am )n = (an )m ，根据题目需要常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
（6）公式 (ab)n = an × bn 的推广： (abc)n = an × bn × cn ( n 为正整数).
（7）逆用公式：anbn = (ab)n 逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简
便.如：
（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项 式 与 多 项 式 相 乘 的 最 后 结 果 需 化 简 ， 有 同 类 项 的 要 合 并 . 特 殊 的 二 项 式 相 乘 ，
( x + a)( x + b) = x2 + (a + b) x + ab .
典型例题：
【例 1】 阅读下列材料：
一般地，n 个相同的因数a相乘a × a¼a 记为 an，记为 an．如 2×2×2=23=8，此时，3 叫做以 2 为底 8 的对数，
记为 log28（即 log28=3）．一般地，若 an=b（a＞0 且 a≠1，b＞0），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 logab
（即 logab=n）．如 34=81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log381（即 log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24= ，log216= ，log264= ．
（2）观察（1）中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN= ；（a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：an•am=an+m 以及对数的含义证明上述结论．
【答案】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；
（3）logaM+logaN=loga（MN）；
（4）证明：设 logaM=b1，logaN=b2，则ab1 =M，ab2 =N，∴MN=ab1 · ab2 = ab1+b2 ，
∴b1+b2=loga（MN）即 logaM+logaN=loga（MN）．
【解析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga
（MN）；（4）首先可设 logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an•am=an+m 以及对数的含义证明结论．
【例 2】 设 m=2100，n=375，为了比较 m 与 n 的大小。小明想到了如下方法： m = 2100 = (24 )25 = 1625 ，即
25 个 16 相乘的积；n=375=（33）25=2725，即 25 个 27 相乘的积，显然 m＜n，现在设 x=430，y=340，请你用 小明的方法比较 x 与 y 的大小。
【答案】解：由阅读材料知：x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，又∵64＜81，∴x＜y．故答案为 x＜y．
【解析】本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底 数大的值比底数小的值要大．根据题意先把 x、y 分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．
【例 3】已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含 x2 项和 x 项，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？
【答案】解：∵（x+a）（x2﹣x+c）=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，
+
又∵积中不含 x2 项和 x 项，∴a﹣1=0，c﹣a=0，解得 a=1，c=1．又∵a=c=1．∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3 1．
【解析】考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为 0．要灵活
掌握立方和公式．先根据多项式乘多项式的法则计算，再让 x2 项和 x 项系数为 0，求得 a，c 的值，代入求解．
=
【例 4】老师在黑板上写出三个算式：52﹣32
8×2，92﹣72=8×4，152﹣32
8×27，王华接着又写了两个具有同
=
样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
=
【答案】解：（1）112﹣92
8×5，132﹣112=8×6．
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数．
（3）证明：设 m，n 为整数，两个奇数可表示 2m+1 和 2n+1，
则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．
当 m，n 同是奇数或偶数时，m﹣n 一定为偶数，所以 4（m﹣n）一定是 8 的倍数．
当 m，n﹣奇﹣偶时，则 m+n+1 一定为偶数，所以 4（m+n+1）一定是 8 的倍数 所以，任意两奇数的平方差是 8 的倍数．
【解析】通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是 8 乘以一个数．根据平方差公式，把 等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数．
【例 5】已知 a=2002，b=2003，c=2004，求 a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc 的值．
【答案】解：∵2(a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc)=(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c)2=(2002-2003) 2+(2003-2004) 2+(2002-2004)2=
=1+4+1=6，∴a +b +c ﹣ab﹣ac﹣bc=3．
【解析】本题考查了完全平方式，对原式扩大 2 倍求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配方法的思想．题
中出现两个数的平方和及两个数积时，考虑把它们组合整理为完全平方的形式，以简便运算．
【例 6】已知多项式 6a2+mab﹣ab﹣10b2 除以 3a﹣2b，得商为 2a+5b，求 m 的值．
【答案】解：∵（3a﹣2b）（2a+5b）=6a2+11ab﹣10b2，∴mab﹣ab=11ab，∴m﹣1=11，解得 m=12．
【解析】本题主要考查了整式的乘法和除法互为逆运算，根据对应项的系数相同列出等式是解题的关键．根
据整式的乘法和除法是互逆运算，把（3a﹣2b）（2a+5b）展开再利用对应项系数相等即可求解．
课堂检测：
1.若 248 -1能被 60 或 70 之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ）
A．61，63 B．63，65 C．61，65 D．63，67
2.乘积应等于（ ）
A．B．C．D．
3．若 (2ambn )3 = 8a9b15 成立，则（ ）．
A. m ＝3， n ＝5 B. m ＝3， n ＝12 C. m ＝6， n ＝12 D. m ＝6， n ＝5
4．1993 + 9319 的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．若 x 为任意实数时，二次三项式 x2 - 6x + c 的值都不小于 0，则常数 c 满足的条件是（ ）
A. c ³ 0 B. c ³ 9 C. c > 0 D. c > 9
课后作业：
1．若多项式 x2 +ax+8 和多项式 x2 -3x+b 相乘的积中不含 x2 x3项，求（a-b）3-（a3 -b3 ）的值．
2．设 m2＋m－2＝0，求 m3＋3m2＋2012 的值．
3．已知 x2m = 5 ，求x6 m - 5 的值．
4．已知 xa = 2 ， xb = 3 ．求 x3a +2b 的值．
5．（1）计算（x+1）（x+2）= ，（x﹣1）（x﹣2）= ，
（x﹣1）（x+2）= ，（x+1）（x﹣2）= ．
（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？
（3）已知 a、b、m 均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则 m 的可能取值有多少个？
6．阅读下列解答过程，并回答问题．
在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的积中，x 项的系数为﹣5，x2 项的系数为﹣6，求 a，b 的值．
解：（x2+ax+b）•（2x2﹣3x﹣1）= +
2x4﹣3x3+2ax3﹣3ax2﹣3bx=①
2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx ②
根据对应项系数相等，有，解得
回答：
（1）上述解答过程是否正确？ ．
（2）若不正确，从第 步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？ ．
（3）写出正确的解答过程．
7．已知多项式 x2﹣mx﹣n 与 x﹣2 的乘积中不含 x2 项和 x 项，求这两个多项式的乘积．
8．已知 6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b）（3x+y+c），试确定 a、b、c 的值．
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