2018年八年级数学上册暑期同步提高课程第十讲整式及乘法公式讲义新人教版.doc

第十讲 整式及乘法公式

教学目标：

1．会推导乘法公式，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法计算。

2．掌握整式的混合运算，能灵活的运用运算律与乘法公式的简化运算。

3．熟悉整式的乘除的转化，深化对相关性质和公式的理解。

重点难点：

1．同底数幂的乘法，幂的乘方法则和积的乘方法则。

2．单项式乘法法则，单项式与多项式及多项式与多项式的乘法法则。

3．平方差公式和完全平方差公式的运用。

知识导航：

一、基本概念

1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 a m × a n = a m+n （m、n 都是正整数）

2．幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。即 (a m )n = a mn （m、n 都是正整数）

3．积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (ab)n = a n b n （n 为整数） 二、整式的乘除
①幂的运算性质：

②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式．
③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子 表达：
④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每

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一项，再把所得的积相加．用式子表达：

平方差公式： 完全平方公式：
在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不

变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式．
⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

考点/易错点 1

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 am × an × a p = am+n+ p （ m, n,
p 都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数

之和等于原来的幂的指数。即 am+n = am × an （ m,
n 都是正整数）.

（4）公式 (am )n = amn 的推广： ((am )n ) p = amnp ( a ¹ 0 ， m, n, p 均为正整数)

（5）逆用公式：amn = (am )n = (an )m ，根据题目需要常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

（6）公式 (ab)n = an × bn 的推广： (abc)n = an × bn × cn ( n 为正整数).

（7）逆用公式：anbn = (ab)n 逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简
便.如：

（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项 式 与 多 项 式 相 乘 的 最 后 结 果 需 化 简 ， 有 同 类 项 的 要 合 并 . 特 殊 的 二 项 式 相 乘 ，
( x a)( x + b) = x2 + (a + b) x + ab .
典型例题：

【例 1】 阅读下列材料：
一般地，n 个相同的因数a相乘a × a¼a 记为 an，记为 an．如 2×2×2=23=8，此时，3 叫做以 2 为底 8 的对数，

记为 log28（即 log28=3）．一般地，若 an=b（a＞0 且 a≠1，b＞0），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 logab

（即 logab=n）．如 34=81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log381（即 log381=4）．

（1）计算以下各对数的值：

log24 ，log216= ，log264= ．

（2）观察（1）中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

logaM+logaN= ；（a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0）

（4）根据幂的运算法则：an•am=an+m 以及对数的含义证明上述结论．

【答案】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；

（3）logaM+logaN=loga（MN）；
4）证明：设 logaM=b1，logaN=b2，则ab1 =M，ab2 =N，∴MN=ab1 · ab2 = ab1+b2 ，
∴b1+b2=loga（MN）即 logaM+logaN=loga（MN）．

【解析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；

（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga

（MN）；（4）首先可设 logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an•am=an+m 以及对数的含义证明结论．

【例 2】 设 m=2100，n=375，为了比较 m 与 n 的大小。小明想到了如下方法： m = 2100 = (24 )25 = 1625 ，即

25 个 16 相乘的积；n=375=（33）25=2725，即 25 个 27 相乘的积，显然 m＜n，现在设 x=430，y=340，请你用 小明的方法比较 x 与 y 的大小。

【答案】解：由阅读材料知：x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，又∵64＜81，∴x＜y．故答案为 x＜y．

【解析】本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底 数大的值比底数小的值要大．根据题意先把 x、y 分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．

【例 3】已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含 x2 项和 x 项，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？

【答案】解：∵（x+a）（x2﹣x+c）=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，

+
又∵积中不含 x2 项和 x 项，∴a﹣1=0，c﹣a=0，解得 a=1，c=1．又∵a=c=1．∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3 1．

【解析】考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为 0．要灵活

掌握立方和公式．先根据多项式乘多项式的法则计算，再让 x2 项和 x 项系数为 0，求得 a，c 的值，代入求解．

=
【例 4】老师在黑板上写出三个算式：52﹣32
8×2，92﹣72=8×4，152﹣32
8×27，王华接着又写了两个具有同

=
样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…

（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；

（2）用文字写出反映上述算式的规律；

（3）证明这个规律的正确性．

=
【答案】解：（1）112﹣92

8×5，132﹣112=8×6．

（2）规律：任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数．

（3）证明：设 m，n 为整数，两个奇数可表示 2m+1 和 2n+1，
则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．

当 m，n 同是奇数或偶数时，m﹣n 一定为偶数，所以 4（m﹣n）一定是 8 的倍数．

当 m，n﹣奇﹣偶时，则 m+n+1 一定为偶数，所以 4（m+n+1）一定是 8 的倍数 所以，任意两奇数的平方差是 8 的倍数．

【解析】通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是 8 乘以一个数．根据平方差公式，把 等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数．

【例 5】已知 a=2002，b=2003，c=2004，求 a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc 的值．
【答案】解：∵2(a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc)=(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c)2=(2002-2003) 2+(2003-2004) 2+(2002-2004)2=
=1+4+1=6，∴a +b +c ﹣ab﹣ac﹣bc=3．

【解析】本题考查了完全平方式，对原式扩大 2 倍求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配方法的思想．题

中出现两个数的平方和及两个数积时，考虑把它们组合整理为完全平方的形式，以简便运算．

【例 6】已知多项式 6a2+mab﹣ab﹣10b2 除以 3a﹣2b，得商为 2a+5b，求 m 的值．

【答案】解：∵（3a﹣2b）（2a+5b）=6a2+11ab﹣10b2，∴mab﹣ab=11ab，∴m﹣1=11，解得 m=12．

【解析】本题主要考查了整式的乘法和除法互为逆运算，根据对应项的系数相同列出等式是解题的关键．根

据整式的乘法和除法是互逆运算，把（3a﹣2b）（2a+5b）展开再利用对应项系数相等即可求解．

课堂检测：

1.若 248 -1能被 60 或 70 之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ）

A．61，63 B．63，65 C．61，65 D．63，67
2.乘积应等于（ ）
A．B．C．D．

3．若 (2ambn )3 = 8a9b15 成立，则（ ）．

A. m ＝3， n ＝5 B. m ＝3， n ＝12 C. m ＝6， n ＝12 D. m ＝6， n ＝5

4．1993 + 9319 的个位数字是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．若 x 为任意实数时，二次三项式 x2 - 6x + c 的值都不小于 0，则常数 c 满足的条件是（ ）
A. c ³ 0 B. c ³ 9 C c > 0 D. c > 9
课后作业：

1．若多项式 x2 +ax+8 和多项式 x2 -3x+b 相乘的积中不含 x2 x3项，求（a-b）3-（a3 -b3 ）的值．

2．设 m2＋m－2＝0，求 m3＋3m2＋2012 的值．

3．已知 x2m = 5 ，求x6 m - 5 的值．

4．已知 xa = 2 ， xb = 3 ．求 x3a +2b 的值．

5．（1）计算（x+1）（x+2）= ，（x﹣1）（x﹣2）= ，

（x﹣1）（x+2）= ，（x+1）（x﹣2）= ．

（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？

（3）已知 a、b、m 均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则 m 的可能取值有多少个？

6．阅读下列解答过程，并回答问题．

在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的积中，x 项的系数为﹣5，x2 项的系数为﹣6，求 a，b 的值．
解：（x2+ax+b）•（2x2﹣3x﹣1）= +
2x4﹣3x3+2ax3﹣3ax2﹣3bx=①

2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx ②
根据对应项系数相等，有，解得

回答：

（1）上述解答过程是否正确？ ．

（2）若不正确，从第 步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？ ．

（3）写出正确的解答过程．

7．已知多项式 x2﹣mx﹣n 与 x﹣2 的乘积中不含 x2 项和 x 项，求这两个多项式的乘积．

8．已知 6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b）（3x+y+c），试确定 a、b、c 的值．