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2.5.1 平面几何中的向量方法
课后篇巩固探究
1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
解析由题意知,=(3,3),=(2,2),所以.
又因为||≠||,所以四边形ABCD为梯形.
答案A
2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=( )
A.- B. C.0 D.
解析如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC为的夹角,
∴cos∠BDC=.
答案B
3.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且,则∠BAC=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析因为,所以O也是△ABC的重心.又因为O是△ABC的外心,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.
答案C
4.已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论正确的是( )
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点,故选D.
答案D
5.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为( )
A.- B. C.- D.
解析因为3+4+5=0,
所以3+4=-5,
所以9+24+16=25.
因为A,B,C在圆上,
所以||=||=||=1.
代入原式得=0,
所以=-(3+4)·()
=-(3+4-3-4)
=-.
答案A
6.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.
答案B
7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且,其中O为坐标原点,则∠AOB= .
解析如图所示,由||=||=||=1,,得四边形OACB为边长为1的菱形,
且∠AOB=120°.
答案120°
8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x= .
解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,
解得x=.
答案
9.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明 =()·()
=
=
=
=-|2+|2.
因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.
10.导学号68254091已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设A(0,2),C(2,0),
则D(1,0),=(2,-2).
设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),
由题设,所以=0,
所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.
所以.所以.又=(1,0),
所以cos ∠ADB=,
cos ∠FDC=,
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
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