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2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
答案D
2.
如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC与BD交于点O,则=( )
A. B.
C. D.
解析.
答案B
3.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 ( )
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同 D.不确定
解析若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同.
答案A
4.
如图,在正六边形ABCDEF中,等于( )
A.0
B.
C.
D.
解析∵,
∴=0.
答案A
5.向量()+()+化简后等于( )
A. B.
C. D.
解析()+()+.
答案C
6.在矩形ABCD中,若AB=2,BC=1,则||= .
解析因为ABCD是矩形,所以对角线AC=,于是||=||=.
答案
7.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:
(1)= ;
(2)= ;
(3)= ;
(4)= .
解析(1)由平行四边形法则可知为;
(2);
(3);
(4)=0.
答案(1) (2) (3) (4)0
8.如图所示,若P为△ABC的外心,且,则∠ACB= .
解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为,由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.
答案120°
9.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.
解存在,如图,=a,=b,
OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.
10.
如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:.
证明∵,
∴.
∵大小相等,方向相反,
∴=0.
故+0=.
B组 能力提升
1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )
A. B.
C. D.
解析因为四边形ABCD是菱形,所以也是平行四边形,于是,故C项正确.
答案C
2.设a=()+(),b是任一非零向量,则在下列结论中:
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.
正确结论的序号是( )
A.①⑤ B.②④⑤ C.③⑤ D.①③⑤
解析∵a=()+()==0,
又b为任一非零向量,∴①③⑤均正确.
答案D
3.
如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则F1与F2的合力大小为 ,方向为 .
解析以为邻边作平行四边形BOAC,则F1+F2=F,
即,则∠OAC=60°,
||=24,||=||=12,
∴∠ACO=90°,∴||=12.
∴F1与F2的合力大小为12 N,方向为竖直向上.
答案12 N 竖直向上
4.
如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
(1);
(2);
(3).
解(1).
(2)=()+.
(3).
5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?
解如图,用表示船的第一次位移,用表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知,
所以可表示两次位移的和位移.
由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
则BC=AC=1,AB=.
在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,
所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°,
所以∠BAD=60°,AD=2AB=2,
所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2 km.
6.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).
解设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次位移的和指的是.依题意,有||+||=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,||==1 000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向为北偏东72°.
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