2015年高考文科数学北京卷-答案.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(文科)答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】.故选A.
【提示】在数轴上，将集合A，B表示出来，如图所示：

由交集的定义可得，为图中阴影部分，即.
【考点】集合的交集运算
2.【答案】D
【解析】由已知得，圆心为，半径为，圆的方程为.故选D.
【提示】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为.
【考点】圆的标准方程
3.【答案】B
【解析】根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.
【提示】函数为奇函数，为偶函数，与为非奇非偶函数.
【考点】函数的奇偶性
4.【答案】C
【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.
【提示】根据题意，可先求出总体中青年教师与老年教师比例，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等即可得出结论。
【考点】分层抽样
5.【答案】B
【解析】初值为，，进入循环体后，，；，；，；，；此时，退出循环，故.
【提示】通过循环框图，计算循环变量的值，当时结束循环，输出结果即可.
【考点】程序框图
6.【答案】A
【解析】，，即，.又当时，还可能是，，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.
【提示】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件.
【考点】充分必要条件，向量共线
7.【答案】C
【解析】四棱锥的直观图如图所示：

平面，是四棱锥最长的棱，.
【提示】由三视图可知，平面，是四棱锥最长的棱，通过勾股定理即可得出结论.
【考点】三视图
8.【答案】B
【解析】由题意知，耗油量升，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.
【提示】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升.而这段时间内行驶的里程数千米.
【考点】平均耗油量
第Ⅱ卷
二、填空题
9.【答案】
【解析】复数，其实部为.
【提示】直接进行计算即可得到答案.
【考点】复数的乘法运算与实部
10.【答案】
【解析】，，，所以最大.
【提示】将数化成简单的数并与1比较即可得到答案.
【考点】比较大小
11.【答案】
【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.
【提示】由正弦定理，得，将已知数值代入即可得到答案.
【考点】正弦定理
12.【答案】
【解析】由题意知，，，所以.
【提示】由题意知，，代入即可得到答案.
【考点】双曲线的焦点
13.【答案】7
【解析】由题图可知，目标函数，因此当，，即在点A处时z取得最大值7.
【提示】由题图可知，将，代入目标函数即可得到答案.
【考点】线性规划
14.【答案】乙
数学
【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.
②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.
【提示】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前；
由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少.
【考点】散点图
三、解答题
15.【答案】（Ⅰ），的最小正周期为.
（Ⅱ），.当，即时，取得最小值.
在区间上的最小值为.
【提示】（Ⅰ）先利用倍角公式降幂，再利用两角和的正弦公式将化简，使之化简成的形式，最后利用计算函数的最小正周期；
（Ⅱ）将的取值范围代入，先求出的范围，再数形结合得到函数的最小值.
【考点】倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数的周期，三角函数的最值
16.【答案】（Ⅰ）设等差数列的公差为D.因为，所以.又因为，所以，故，所以；
（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，，所以.由，得，所以与数列的第63项相等.
【提示】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将，，，转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；
（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.
【考点】等差数列，等比数列的通项公式
17.【答案】（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为；
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为；
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
【提示】（Ⅰ）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；
（Ⅱ）先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的人数100+200，再计算概率；
（Ⅲ）由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.
【考点】统计表，概率
18.【答案】（Ⅰ）因为，分别为，的中点，所以.又因为平面，所以平面；
（Ⅱ）因为，为的中点，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面，所以平面平面.
（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以，，所以等边三角形的面积.又因为平面，所以三棱锥的体积等于.又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为.
【提示】（Ⅰ）在三角形中，利用中位线的性质得，最后直接利用线面平行的判定得到结论；
（Ⅱ）先在三角形中得到，再利用面面垂直的性质得平面，最后利用面面垂直的判定得出结论；
（Ⅲ）将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形的面积，由于平面，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.
【考点】线线平行，线面平行，面面平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直，三棱锥的体积公式
19.【答案】（Ⅰ）由，得，由得解
与在区间上的情况如下：

↘

↗
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，
在处取得极小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
【提示】（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.
【考点】导数的运算，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的极值和最值，函数零点问题
20.【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为，所以，，，所以椭圆的离心率.
（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，，直线的方程为，令，得，所以直线的斜率.
（Ⅲ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知，又因为直线的斜率，所以.当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，则直线的方程为，令，得点，
由，得，
所以，.
直线的斜率，
因为

所以，所以.
综上可知，直线与直线平行.
【提示】（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到，，的值，再利用计算离心率；
（Ⅱ）由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标，设出直线AE的方程，由于直线AE与x=3相交于M点，所以得到M点坐标，利用点B，点M的坐标，求直线BM的斜率；
（Ⅲ）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于0即可证明，即两直线平行.
【考点】椭圆的标准方程及其几何性质，直线的斜率，两直线的位置关系

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