2021年高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的综合问题练习含答案-.docx

2021年高考数学一轮复习《直线与圆锥曲线的综合问题》练习（含答案）
1、2021年高考数学一轮复习《直线与圆锥曲线的综合问题》精选练习一、选择题过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|=6，=λ，则λ的值为(　　)A.B.C.D.3若直线ax＋by－3=0与圆x2＋y2=3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋=1的公共点的个数为(　　)A.0B.1C.2D.1或2设F1，F2分别是椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.已知双曲线－=1(a＞0，b
2、＞0)与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)A.(1，)B.(1，]C.(，＋∞)D.[，＋∞)如图，F1，F2是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)A.4B.C.D.已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为(　　)A.3B.2C.－2D.－3已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　　)nA.B.C.D.过原点的直线l
3、与双曲线－=－1有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)A.B.C.∪D.∪已知直线y=1－x与双曲线ax2＋by2=1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)A.－B.－C.－D.－已知双曲线－y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，直线y=kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是(　　)A.4B.3C.D.2已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线
4、l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)A.(，)B.(，＋∞)C.(，2)D.(1，)已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y=ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x＋m对称，且x1x2=－，则m的值为(　　)A.B.C.2D.3二、填空题设抛物线x2=4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足=λ，若||=，则λ的值为________.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)，直线l：y=(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=，则p=
5、________.n已知双曲线E：－=1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(,-1)，则l的方程为________.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________.三、解答题已知直线l：y=x＋m，m∈R.(1)若以点M(2，－1)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线C：x2=y(m≠0)相切，求直线l和抛物线C的方程.已知椭圆C：＋=1(ab0)的左、右焦
6、点分别为F1，F2，且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)当△ABF2的面积最大时，求l的方程.n已知△ABC的顶点A(1,0)，点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上.(1)求点C的轨迹T的方程；(2)已知过P(0，－2)的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q(1,2)与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值.已知直线l过点P(2,0)且与抛物线E：y2=4x相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点.(1)当A是PC中点时，求直线l的方程；(
7、2)以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|·|OD|的值.n已知椭圆E：＋=1(ab0)经过点，且离心率e=.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y=kx＋m与椭圆E相交于M、N两点(异于A点)，且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标.已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点.在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：(1)求C1，C2的标准方程；(2)已知定点C，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求△AB
8、C面积的最大值.n已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的焦距为4，P是椭圆C上的点.(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设=＋.证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.n答案解析答案为：D；解析：设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2=6，解得x1=4，y1=4，直线AB的方程为y=2(x－2)，令x=－2，得C(－2，－8)，联立方程解得B(1，－2)，所以|BF|=1＋2=3，|BC|=9，所以λ=3.答案为：C；解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3=
9、0的距离为＞，所以a2＋b2＜3.又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为，所以P(a，b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆＋=1的公共点有2个，应选C.答案为：D；解析：∵|PF1|=|PQ|，且∠F1PQ=60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，∴△F1PQ的边长为，在△PF1F2中，|PF1|=，|PF2|=，|F1F2|=2c，∴()2－()2=(2c)2，即a2=3c2，∴e2==，∴e=.答案为：C；解析：由于双曲线的一条渐近线方程为y=x，则由题
10、意得＞2，所以e=＞=.答案为：B；解析：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60°.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|=2a，∴|BF1|=2a.又|BF2|－|BF1|=2a，∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a，|AF1|=6a.在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos60°，∴(2c)2=(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×，即c2=7a2，∴e===.应选B.答案为：D；解析：由题意可知，直线OA的方程为y=2x，n与抛物线方程y2
11、=2px联立得得即A，则直线AB的方程为y－p=6，即y=6x－2p，与抛物线方程y2=2px联立得得或所以B，所以直线OB的斜率为kOB==－3.应选D.答案为：D；解析：由题意知k＞0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5=0，由于直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以解得1＜k＜，即k∈，应选D.答案为：B；解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y=kx，将其代入双曲线的方程－=1，并整理得(3k2－1)x2－9=0.由于直线l与双曲线有两个交点，所以Δ=36(3k2－1)＞0，所
12、以k2＞，解得k＞或k＜－.设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k=tanα(0≤α≤π，且α≠)，可得α∈∪；当直线l的斜率不存在，即α=时，直线l为y轴，明显与双曲线有两个交点.应选B.答案为：A；解析：由双曲线ax2＋by2=1知其渐近线方程为ax2＋by2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by=0　①，ax＋by=0　②，由①－②得a(x－x)=－b(y－y).即a(x1＋x2)(x1－x2)=－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以·=－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM====－，又
13、知kAB=－1，所以－×(－1)=－，所以=－，应选A.答案为：D；n解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，由于该点也为抛物线的焦点，所以p=4，所以抛物线方程为y2=8x，又由于直线y=kx＋m与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx＋m)2=8x⇒k2x2＋(2km－8)x＋m2=0，∴x1＋x2=，x1x2=.又由于M(2,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2==4，且2=2k＋m，联立解得k=2，m=－2.|AB|=|x1－x2|=·=2.O到AB的距离d=.∴S△AOB=×2×=2.答案为：B；解析：由题意知，直线l：
14、y=－(x－c)，由得x2＋x－=0，由x1x2=＜0，得b4＞a4，所以b2=c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞.答案为：A；解析：由双曲线的定义知2a=4，得a=2，所以抛物线的方程为y=2x2.由于点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=2x2上，所以y1=2x，y2=2x，两式相减得y1－y2=2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y=x＋m对称，所以=－1，故x1＋x2=－，而x1x2=－，解得x1=－1，x2=，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0==－，y0===，由于中点M
15、在直线y=x＋m上，所以=－＋m，解得m=.二、填空题答案为：.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线x2=4y得焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y=－1，∵||=，∴y1＋1=，解得y1=，∴x1=±，由抛物线的对称性取x1=，n∴A，∴直线AF的方程为y=－x＋1，由解得或∴B(－2，2)，∴||=2＋1=3，∵=λ，∴||=λ||，∴=3λ，解得λ=.答案为：2.解析：由消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2=，x1x2=1，所以|AB|=2=2=，所以p=2.答
16、案为：2x＋8y＋7=0解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，两式相减得=，即=×.又线段AB的中点坐标是(,-1)，因此x1＋x2=2×=1，y1＋y2=(－1)×2=－2，=－，=－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1=－(x-)，即2x＋8y＋7=0.答案为：3.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为y－0=(x-)，即y=x－p，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2=0，则x1=p，x2=p，则==3.三、解答题解：(1)由题意得点P的坐标为(－m,0)
17、，且MP⊥l，所以kMP·kl=·1=－1(kl为直线l的斜率)，解得m=－1.所以点P(1,0).设所求圆的半径为r，则r2=|PM|2=1＋1=2，n所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=2.(2)将直线l：y=x＋m中的y换成－y，可得直线l′的方程为y=－x－m.由得mx2＋x＋m=0(m≠0)，Δ=1－4m2，由于直线l′与抛物线C：x2=y相切，所以Δ=1－4m2=0，解得m=±.当m=时，直线l的方程为y=x＋，抛物线C的方程为x2=2y；当m=－时，直线l的方程为y=x－，抛物线C的方程为x2=－2y.解：(1)由椭圆的定义知4a=4
18、，a=，由e=知c=ea=1，b2=a2－c2=1.所以椭圆C的方程为＋y2=1.(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，|F1F2|=2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x=my－1，联立x=my－1与＋y2=1，得(m2＋2)y2－2my－1=0，|y1－y2|=，S△ABF2=2=2，当m2＋1=1，m=0时，S△ABF2最大为，l：x=－1.解：(1)设C(x，y)(y≠0)，由于B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B(－x,0)，由|AB|=|AC|，得(x＋1)2=(x－1)2＋y2，化简得y2=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2
19、=4x(y≠0).(2)直线l的斜率明显存在且不为0，设直线l的方程为y=kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得ky2－4y－8=0，n所以y1＋y2=，y1y2=－，kMQ====，同理kMQ=，kMQ·kNQ=·==4，所以Q(1,2)与M，N两点连线的斜率之积为定值4.解：(1)∵A是PC的中点，P(2,0)，C在y轴上，∴A点的横坐标为1，又A在第四象限，∴A(1，－2).∴直线l的方程为y=2x－4.(2)明显直线l的斜率不为0，设l的方程为x=my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组消去x得y2－4my－8=0，∴y
20、1y2=－8，故x1x2=·=4，∵D在以AB为直径的圆上，且在直线OB上，∴⊥，设=λ=(λx2，λy2)，则=－=(λx2－x1，λy2－y1)，∴·=(λx2－x1)λx2＋(λy2－y1)λy2=0，即λ2x－4λ＋λ2y＋8λ=0，易知λ≠0，∴λ(x＋y)=－4.∴|OB|·|OD|=·=|λ|(x＋y)=4.解：依题意，得解得所以，椭圆E的方程为＋=1.(2)如图，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立整理，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)=0，n则Δ=64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)0，即3＋4k2－m2
21、0，x1＋x2=－，x1x2=.从而y1y2=(kx1＋m)(kx2＋m)=k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2=，由椭圆E的右顶点为A(2,0)，MA⊥NA，得·=－1，即y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4=0.则有＋＋＋4=0，整理，得7m2＋16km＋4k2=0，解得m=－2k或m=－，均满足条件3＋4k2－m20.当m=－2k时，直线l的方程为y=k(x－2)，直线l过定点A，与题设冲突；当m=－时，直线l的方程为y=k，直线l过定点，所以直线l经过定点，且定点的坐标为.解：(1)设C1：＋=1(a＞b＞0)，由题意知，点(－2
22、,0)确定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得解得∴C1的标准方程为＋y2=1.设C2：x2=2py(p＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p=1，∴C2的标准方程为x2=2y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P，由y=x2知y′=x，故直线AB的方程为y－t2=t(x－t)，即y=tx－t2，代入椭圆方程＋y2=1，整理得(1＋4t2)x2－4t3x＋t4－4=0，n则Δ=16t6－4(1＋4t2)(t4－4)=4(－t4＋16t2＋4)＞0，x1＋x2=，x1x2=，∴|AB|==，设点C到直线AB的距离为
23、d，则d==，∴S△ABC=·|AB|·d=··==≤=，当且仅当t=±2时，取等号，此时满足Δ＞0.综上，△ABC面积的最大值为.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C的方程为＋=1，由于点P在椭圆C上，所以＋=1，解得a2=5或a2=(舍去)，所以椭圆C的方程为＋y2=1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋=得，D(x1＋x2，y1＋y2)，所以直线AB的斜率kAB=，直线OD的斜率kOD=，由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)=0，即·=－，所以kAB·kOD=－.n故直
24、线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.
第 25 页