资源描述
相交线与平行线
一、选择题
1．〔2022·黑龙江大庆〕如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为〔 〕
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】平行线的性质．
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．
【解答】解：如下列图：当①∠1=∠2，
那么∠3=∠2，
故DB∥EC，
那么∠D=∠4，
当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
那么DF∥AC，
可得：∠A=∠F，
即⇒③；
当①∠1=∠2，
那么∠3=∠2，
故DB∥EC，
那么∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
那么∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即⇒②；
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
那么∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
那么∠4=∠D，
故DB∥EC，
那么∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即⇒①，
故正确的有3个．
应选：D．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．
2. 〔2022·湖北鄂州〕如下列图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，那么∠2的度数为〔 〕
A. 50° B. 40°C. 45° D. 25°
【考点】平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行同位角相等，得出∠2=∠D；再根据垂线的性质和三角形的内角和定理，得出∠D=40°，从而得出∠2的度数.
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠2=∠D;
又∵EF⊥BD
∴∠DEF=90°;
∴在△DEF中，∠D=180°―∠DEF―∠1=180°―90°―50°=40°
∴∠2=∠D=40°.
应选B．
【点评】此题解题的关键是弄清性质和定理。平行线的性质之一：两直线平行同位角相等；垂直的性质：如果两直线互相垂直，那么它们相交所组成的角为直角；三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
3. 〔2022·湖北黄冈〕如图，直线a∥b，∠1=55°，那么∠2=
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
【考点】平行线的性质、对顶角、邻补角.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行同位角相等，得出∠1=∠3；再根据对顶角相等，得出∠2=∠3；从而得出∠1=∠2=55°.
【解答】解：如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠1=55°，
∴∠3=55°，
∴∠2=55°.
应选：C．
4．〔2022·湖北十堰〕如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，假设∠ABC=40°，那么∠BCD=〔 〕
A．140° B．130° C．120° D．110°
【考点】平行线的性质．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠B=∠BCD，∠ECD=90°，进而得出答案．
【解答】解：过点C作EC∥AB，
由题意可得：AB∥EF∥EC，
故∠B=∠BCD，∠ECD=90°，
那么∠BCD=40°+90°=130°．
应选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，作出正确辅助线是解题关键．
5. 〔2022·湖北咸宁〕如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，那么∠BCD的度数为〔 〕
A. 50° B. 45° C. 40° D.30°
A
1
D
CB
〔第2题〕
【考点】平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理．
【分析】由直线l1∥l2，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=50°；由CD⊥AB，可知∠CDB=90°，由三角形的内角和定理，可求得∠BCD的度数.
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠ABC=∠1=50°;
又∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°；
在△BCD中，∠BCD=180°-∠CDB-∠ABC=180°-90°-50°=40°
应选C．
【点评】此题考查了平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理．解题的关键是要注意掌握两个性质一个定理的应用：①两直线平行，内错角相等； ②垂直的性质：如果两直线互相垂直，那么它们相交所组成的角为直角；③三角形的内角和定理：三角形三个内角的和为180°.
6. (2022·新疆)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，假设∠1=56°，那么∠2等于〔 〕
A．24° B．34° C．56° D．124°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据对顶角相等求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，即可得出答案．
【解答】解：
∵∠1=56°，
∴∠3=∠1=56°，
∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=56°，
应选C．
【点评】此题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出∠2=∠3是解此题的关键，注意：两直线平行，同位角相等．
7. 〔2022·四川成都·3分〕如图，l1∥l2，∠1=56°，那么∠2的度数为〔 〕
A．34° B．56° C．124° D．146°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线性质求出∠3=∠1=50°，代入∠2+∠3=180°即可求出∠2．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠3，
∵∠1=56°，
∴∠3=56°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=124°，
应选C．
8. 〔2022·四川达州·3分〕如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．假设AB=10，BC=16，那么线段EF的长为〔 〕
A．2B．3C．4 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D为AB中点，
∴DF=AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，即，
解得：DE=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
应选：B．
9. 〔2022·四川凉山州·4分〕如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，假设∠EFG=52°，那么∠EGF等于〔 〕
A．26° B．64° C．52° D．128°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线及角平分线的性质解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴∠BEF=180°﹣52°=128°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=64°；
∴∠EGF=∠BEG=64°〔内错角相等〕．
应选：B．
10. 〔2022湖北襄阳，2，3分〕如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，那么∠C的度数为〔 〕
A．50°B．40° C．30° D．20°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义；三角形的外角性质．
【分析】由AD∥BC，∠B=30°利用平行线的性质即可得出∠EAD的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠EAC的度数，最后由三角形的外角的性质即可得出∠EAC=∠B+∠C，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°．
又∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=60°．
∵∠EAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°．
应选C．
【点评】此题考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是求出∠EAC=60°．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键．
11. 〔2022湖北孝感，2，3分〕如图，直线a，b被直线c所截，假设a∥b，∠1=110°，那么∠2等于〔 〕
A．70° B．75° C．80° D．85°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，根据对顶角相等得到答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°﹣∠1=70°，
∴∠2=∠3=70°，
应选：A．
【点评】此题考查的是平行线的性质和对顶角的性质，掌握两直线平行，同位角相等、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
12.〔2022·广东茂名〕如图，直线a、b被直线c所截，假设a∥b，∠1=60°，那么∠2的度数为〔 〕
A．120° B．90° C．60° D．30°
【考点】平行线的性质．
【分析】利用两直线平行，同位角相等就可求出．
【解答】解：∵直线被直线a、b被直线c所截，且a∥b，∠1=48°
∴∠2=48°．
应选C．
【点评】此题考查了平行线的性质，应用的知识为两直线平行，同位角相等．
13.〔2022·广东梅州〕如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，那么∠1等于
A．55° B．45° C．35° D．25°
答案：C
考点：三角形内角和定理，两直线平行的性质定理。
解析：∠A＝90°－55°＝35°，因为CD∥AB，所以，∠1＝∠A＝35°。
14.〔2022·广东深圳〕如图，a∥b,直角三角板的直角顶点在直线b上，假设∠1=60°，那么以下结论错误的选项是〔 〕
A. ∠2=60° B. ∠3=60° C. ∠4=120° D. ∠5=40°
答案：D
考点：平行线的性质、余角
解析：
15.〔2022·广西贺州〕如图，∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为〔 〕
A．70°B．100° C．110° D．120°
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据补角的定义求出∠2的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1=60°，
∴∠2=180°﹣60°=120°．
∵CD∥BE，
∴∠2=∠B=120°．
应选D．
【点评】此题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
16. 〔2022年浙江省宁波市〕能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a〞是假命题的一个反例可以是〔 〕
A．a=﹣2 B．a=C．a=1 D．a=
【考点】命题与定理．
【分析】反例就是符合条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
【解答】解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a〞是假命题的一个反例可以是a=﹣2，
应选A．
【点评】此题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…〞形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
17. 〔2022年浙江省宁波市〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，那么∠B的度数为〔 〕
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】平行线的性质．
【分析】由CD∥AB，∠ACD=40°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A度数，继而求得答案．
【解答】解：∵CD∥AB，∠ACD=40°，
∴∠A=∠ACD=40°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠A=50°．
应选B．
【点评】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理．注意两直线平行，内错角相等．
18．〔2022·山东枣庄〕如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，那么∠DEB的度数是
A．75°36′ B．75°12′ C．74°36′ D．74°12′
第２题图
【答案】B.
【解析】
试题分析：由平行线的性质可得∠AOB=∠ADC=37°36′，根据光的反射定律可得∠ADC=∠ODE=37°36′，再由三角形外角的性质可得∠DEB=∠AOB+∠ODE=37°36′+37°36′=75°12′，故答案选B.
考点：平行线的性质；三角形外角的性质.
19．〔2022.山东省临沂市，3分〕如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，那么∠1的度数是〔 〕
A．80° B．85° C．90° D．95°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据∠1=∠D+∠C，∠D是的，只要求出∠C即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C=40°，
∵∠1=∠D+∠C，
∵∠D=45°，
∴∠1=∠D+∠C=45°+40°=85°，
应选B．
【点评】此题考查平行线的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，属于中考常考题型．
20．〔2022.山东省威海市，3分〕如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，假设∠ADC=35°，那么∠1的度数为〔 〕
A．65° B．55° C．45° D．35°
【考点】平行线的性质．
【分析】利用条件易求∠ACD的度数，再根据两线平行同位角相等即可求出∠1的度数．
【解答】解：
∵DA⊥AC，垂足为A，
∴∠CAD=90°，
∵∠ADC=35°，
∴∠ACD=55°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD=55°，
应选B．
21．〔2022·江苏苏州〕如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，假设∠1=58°，那么∠2的度数为〔 〕
A．58° B．42° C．32° D．28°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠2，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠ACB=∠2，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，
应选C．
22．〔2022·江苏省宿迁〕如图，直线a、b被直线c所截．假设a∥b，∠1=120°，那么∠2的度数为〔 〕
A．50° B．60° C．120° D．130°
【分析】根据邻补角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．
【解答】解：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°．
应选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是根底题，熟记性质是解题的关键．
23．(2022福州，3,3分)如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是〔 〕
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】根据内错角的定义求解．
【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．
应选B．
【点评】此题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．
24．(2022大连，4，3分)如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，那么∠BAE的度数是〔 〕
A．40° B．70° C．80° D．140°
【考点】平行线的性质．
【分析】先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∵∠ACD=40°，
∴∠BAC=180°﹣40°=140°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°，
应选B．
【点评】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，比较简单；做好此题要熟练掌握两直线平行①内错角相等，②同位角相等，③同旁内角互补；并会书写角平分线定义的三种表达式：假设AP平分∠BAC，那么①∠BAP=∠PAC，②∠BAP=∠BAC，③∠BAC=2∠BAP．
二.填空题
1. (2022·云南)如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，假设∠1=60°，那么∠2= 60° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由对顶角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠1=∠3=60°．
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2=∠3=60°．
故答案为：60°．
【点评】此题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
2. (2022·云南)如图，AB∥CD，BC∥DE．假设∠A=20°，∠C=120°，那么∠AED的度数是 80° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】延长DE交AB于F，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，BC∥DE，
∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，
∴∠AFE=∠B=60°，
∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，
故答案为：80°．
【点评】此题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键
3. 〔2022·四川达州·3分〕如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E，假设∠A=42°，那么∠D= 48° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】首先根据平行线的性质求得∠ECD的度数，然后在直角△ECD中，利用三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ECD=∠A=42°，
又∵DE⊥AE，
∴直角△ECD中，∠D=90°﹣∠ECD=90°﹣42°=48°．
故答案为：48°．
4. 〔2022·四川广安·3分〕如图，直线l1∥l2，假设∠1=130°，∠2=60°，那么∠3= 70° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠4=∠1=130°，由三角形的外角的性质得到∠5=∠4﹣∠2=70°根据对顶角相等即可得到结论．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠4=∠1=130°，
∴∠5=∠4﹣∠2=70°
∴∠5=∠3=70°．
故答案为：70°．
5. (2022年浙江省丽水市)如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，假设∠AEN=133°，那么∠B的度数为 70° ．
【考点】三角形外角的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE，由∠AEN=∠A+∠ADE计算即可．
【解答】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE，∠AEN=133°，∠A=63°，
∴∠ADE=70°，
∵MN∥BC，
∴∠B=∠ADE=70°，
故答案为70°．
6．〔2022·江苏连云港〕如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，假设∠1=54°，那么∠2= 72° ．
【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质找出∠ABC=∠1，由BC平分∠ABD，根据角平分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC，再结合三角形的内角和为180°以及对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1=54°，
∴∠ABC=∠1=54°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD=∠ABC=54°．
∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°，∠1=∠DCB，∠2=∠BDC，
∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°．
故答案为：72°．
【点评】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是找出各角的关系．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等〔或互补〕的角是关键．
7．〔2022•江苏省扬州〕如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，假设∠1=2∠2，那么∠1= 80 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2∠3，
∴3∠3+60°=180°，
∴∠3=40°，
∴∠1=80°，
故答案为：80．
三.解答题
1. 〔2022·江苏南京〕用两种方法证明“三角形的外角和等于360°〞。
如图，、、是△ABC的三个外角.
求证°.
证法1：∵________.
∴+++++==540°.
∴.
∵ ________.
∴
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
考点：三角形的内角和定理，两直线平行的性质。
解析：∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°．
∠1＋∠2＋∠3＝180°．
证法2：过点A作射线AP，使AP∥BD．
∵ AP∥BD，
∴ ∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP．
∵ ∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，
∴ ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．
2. 〔2022·广东梅州〕如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F
分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
〔1〕求证：BO=DO；
〔2〕假设EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1
时，求AE的长．
考点：平行四边形的性质，三角形例行的判定，两直线平行的性质。
解析：〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB， ………………………1分
∴∠OBE =∠ODF． ………………………2分
在△OBE与△ODF中，
∵
∴△OBE≌△ODF〔AAS〕．………………………3分
∴BO=DO．………………………4分
〔2〕解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．…………………5分
∴AE=GE……………6分
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°． ……………7分
∴DG=DO
∴OF=FG= 1 ……………8分
由〔1〕可知，OE= OF=1
∴GE=OE+OF+FG=3
∴AE=3 ……………9分
(此题有多种解法，请参照此评分标准给分.)
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