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考点规范练66 几何证明选讲
考点规范练B册第48页
基础巩固组
1.
如图所示,已知DE∥BC,BF∶EF=3∶2,求AC∶AE和AD∶DB的值.
解:∵DE∥BC,∴.
∵BF∶EF=3∶2,∴.
同理DE∥BC,得AB∶AD=3∶2,
∴,则AD∶BD=2∶1.
2.(2015辽宁丹东一模)
已知A,B,C,D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.
(1)证明:∵AC∥DE,直线DE为圆O的切线,
∴D是弧的中点,即.
又∠ABD,∠DBC分别是两弧所对的圆周角,
故有∠ABD=∠DBC.
∴BD平分∠ABC.
(2)解:∵∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC,
∴△ABH∽△DBC,∴.
又,∴AD=DC.∴.
∵AB=4,AD=6,BD=8,∴AH=3.
3.(2015河北邯郸二模)
如图,已知AB为半圆O的直径,C为圆弧上一点,过点C作半圆的切线CF,过点A作CF的垂线,垂足为D,AD交半圆于点E,连接EC,BC,AC.
(1)证明:AC平分∠BAD;
(2)若AB=3,DE=,求△ABC的面积.
(1)证明:由CD为半圆O的切线,
根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA.
又因为∠CDA=∠BCA=90°,得∠BAC=∠CAD.
所以AC平分∠BAD.
(2)解:由CD为半圆O的切线,
根据弦切角定理得∠DCE=∠CAD.
又因为∠CAD=∠CAB,所以∠DCE=∠CAB.
可得△DCE∽△CAB,则.
又因为EC=BC,AB=3,DE=,
所以BC=,即S△ABC=.
4.(2015南昌一模)
如图,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=20,PB=10,∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.
(1)求证:AB·PC=PA·AC;
(2)求AD·AE的值.
(1)证明:∵PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACB,
又∠P为公共角,∴△PAB∽△PCA,
∴,即AB·PC=PA·AC.
(2)解:∵PA为圆O的切线,PC是过点O的割线,
∴PA2=PB·PC,∴PC=40,BC=30.
又∵∠CAB=90°,∴AC2+AB2=BC2=900.
又由(1)知,∴AC=12,AB=6,
连接EC,则∠CAE=∠EAB,△ACE∽△ADB,
∴,AD·AE=AB·AC=6×12=360.
5.
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直于BE交圆于点D.
(1)证明:DB=DC;
(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
(1)证明:如图,连接DE,交BC于点G.
由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又因为DB⊥BE,所以DE为直径,
则∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,
所以BG=.
设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.
6.
如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.
(1)证明:A,E,F,M四点共圆;
(2)若MF=4BF=4,求线段BC的长.
(1)证明:如图,连接AM.
由AB为直径可知∠AMB=90°.
又CD⊥AB,所以∠AEF=∠AMB=90°.
所以∠AEF+∠AMB=180°.
因此A,E,F,M四点共圆.
(2)解:连接AC,由A,E,F,M四点共圆,
可知BF·BM=BE·BA.
在Rt△ABC中,BC2=BE·BA.
又由MF=4BF=4,知BF=1,BM=5,
所以BC2=5,BC=.
7.(2015东北三校一模)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连接OD交圆O于点M.
(1)求证:DE是圆O的切线;
(2)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB.
证明:(1)连接BE,OE,
∵AB是直径,∴∠AEB=90°.
∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,
∴△AEB∽△ABC,∴∠ABE=∠C.
∵BE⊥AC,D为BC的中点,∴DE=BD=DC,
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB,
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,
∴∠OED=90°,∴DE是圆O的切线.
(2)∵O,D分别为AB,BC的中点,
∴DM=OD-OM=(AC-AB),
∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)
=(AC-AB)·(AC+AB)
=(AC2-AB2)=BC2=DE·BC.
∴DE·BC=DM·AC+DM·AB.〚导学号92950915〛
能力提升组
8.(2015课标全国Ⅱ,理22)如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,
所以AD是∠CAB的平分线.
又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,
所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.
(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,
故AD是EF的垂直平分线.
又EF为☉O的弦,所以O在AD上.
连接OE,OM,则OE⊥AE.
由AG等于☉O的半径得AO=2OE,
所以∠OAE=30°.
因此△ABC和△AEF都是等边三角形.
因为AE=2,所以AO=4,OE=2.
因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.
于是AD=5,AB=.
所以四边形EBCF的面积为×(2)2×.〚导学号92950916〛
9.(2015陕西,理22)如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.
(1)证明:∠CBD=∠DBA;
(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.
(1)证明:因为DE为☉O直径,
则∠BED+∠EDB=90°.
又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,
从而∠CBD=∠BED.
又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED,
所以∠CBD=∠DBA.
(2)解:由(1)知BD平分∠CBA,则=3,
又BC=,从而AB=3.
所以AC==4,所以AD=3.
由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,
故DE=AE-AD=3,即☉O直径为3.
10.(2015辽宁锦州一模)
如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.
(1)求证:A,E,F,D四点共圆;
(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
(1)证明:∵AE=AB,∴BE=AB.
∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE.∴∠ADB=∠BEC,
即∠ADF+∠AEF=π.∴A,E,F,D四点共圆.
(2)解:如图,
取AE的中点G,连接GD,
则AG=GE=AE,
∵AE=AB,
∴AG=GE=AB=.
∵AD=AC=,∠DAE=60°,
∴△AGD为正三角形.
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=.
∴点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.
由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.〚导学号92950917〛
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