高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练66几何证明选讲理含解析北师大版.doc

考点规范练66几何证明选讲考点规范练B册第48页基础巩固组1.如图所示,已知DEBC,BFEF=32,求ACAE和ADDB的值.解:DEBC,.BFEF=32,.同理DEBC,得ABAD=32,则ADBD=21.2.(2015辽宁丹东一模)已知A,B,C,D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,ACDE,AC与BD相交于H点.(1)求证:BD平分ABC;(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.(1)证明:ACDE,直线DE为圆O的切线,D是弧的中点,即.又ABD,DBC分别是两弧所对的圆周角,故有ABD=DBC.BD平分ABC.(2)解:CAB=CDB且ABD=DBC,ABHDBC,.又,AD=DC.AB=4,AD=6,BD=8,AH=3.3.(2015河北邯郸二模)如图,已知AB为半圆O的直径,C为圆弧上一点,过点C作半圆的切线CF,过点A作CF的垂线,垂足为D,AD交半圆于点E,连接EC,BC,AC.(1)证明:AC平分BAD;(2)若AB=3,DE=,求ABC的面积.(1)证明:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得DCA=CBA.又因为CDA=BCA=90,得BAC=CAD.所以AC平分BAD.(2)解:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得DCE=CAD.又因为CAD=CAB,所以DCE=CAB.可得DCECAB,则.又因为EC=BC,AB=3,DE=,所以BC=,即SABC=.4.(2015南昌一模)如图,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=20,PB=10,BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证:ABPC=PAAC;(2)求ADAE的值.(1)证明:PA为圆O的切线,PAB=ACB,又P为公共角,PABPCA,即ABPC=PAAC.(2)解:PA为圆O的切线,PC是过点O的割线,PA2=PBPC,PC=40,BC=30.又CAB=90,AC2+AB2=BC2=900.又由(1)知,AC=12,AB=6,连接EC,则CAE=EAB,ACEADB,ADAE=ABAC=612=360.5.如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直于BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.(1)证明:如图,连接DE,交BC于点G.由弦切角定理,得ABE=BCE.而ABE=CBE,故CBE=BCE,BE=CE.又因为DBBE,所以DE为直径,则DCE=90,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,CDE=BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连接BO,则BOG=60.从而ABE=BCE=CBE=30,所以CFBF,故RtBCF外接圆的半径等于.6.如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.(1)证明:A,E,F,M四点共圆;(2)若MF=4BF=4,求线段BC的长.(1)证明:如图,连接AM.由AB为直径可知AMB=90.又CDAB,所以AEF=AMB=90.所以AEF+AMB=180.因此A,E,F,M四点共圆.(2)解:连接AC,由A,E,F,M四点共圆,可知BFBM=BEBA.在RtABC中,BC2=BEBA.又由MF=4BF=4,知BF=1,BM=5,所以BC2=5,BC=.7.(2015东北三校一模)如图,在ABC中,ABC=90,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连接OD交圆O于点M.(1)求证:DE是圆O的切线;(2)求证:DEBC=DMAC+DMAB.证明:(1)连接BE,OE,AB是直径,AEB=90.ABC=90=AEB,A=A,AEBABC,ABE=C.BEAC,D为BC的中点,DE=BD=DC,DEC=DCE=ABE=BEO,DBE=DEB,BEO+DEB=DCE+CBE=90,OED=90,DE是圆O的切线.(2)O,D分别为AB,BC的中点,DM=OD-OM=(AC-AB),DMAC+DMAB=DM(AC+AB)=(AC-AB)(AC+AB)=(AC2-AB2)=BC2=DEBC.DEBC=DMAC+DMAB.导学号92950915能力提升组8.(2015课标全国,理22)如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.解:(1)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线.又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OEAE.由AG等于O的半径得AO=2OE,所以OAE=30.因此ABC和AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为(2)2.导学号929509169.(2015陕西,理22)如图,AB切O于点B,直线AO交O于D,E两点,BCDE,垂足为C.(1)证明:CBD=DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求O的直径.(1)证明:因为DE为O直径,则BED+EDB=90.又BCDE,所以CBD+EDB=90,从而CBD=BED.又AB切O于点B,得DBA=BED,所以CBD=DBA.(2)解:由(1)知BD平分CBA,则=3,又BC=,从而AB=3.所以AC=4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=ADAE,即AE=6,故DE=AE-AD=3,即O直径为3.10.(2015辽宁锦州一模)如图,在正ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(1)求证:A,E,F,D四点共圆;(2)若正ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.(1)证明:AE=AB,BE=AB.在正ABC中,AD=AC,AD=BE.又AB=BC,BAD=CBE,BADCBE.ADB=BEC,即ADF+AEF=.A,E,F,D四点共圆.(2)解:如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,AE=AB,AG=GE=AB=.AD=AC=,DAE=60,AGD为正三角形.GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=.点G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.导学号929509175