高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练39垂直关系理含解析北师大版.doc

考点规范练39　垂直关系
　考点规范练A册第28页　 
基础巩固组
1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则(　　)
A.垂直于平面β的平面γ一定平行于平面α
B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C.垂直于平面β的平面γ一定平行于直线l
D.垂直于直线l的平面γ一定与平面α,β都垂直
答案:D
解析:对于A,垂直于平面β的平面γ与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面γ与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.
2.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⫋α,b⫋β,且α⊥β”的平面α,β(　　)

A.不存在 B.有且只有一对
C.有且只有两对 D.有无数对
答案:D
解析:过直线a的平面α有无数个,当平面α与直线b平行时,两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α,当平面α与b相交时,过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.
3.

如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是(　　)
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
答案:C
解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.
同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.
因为AC⫋平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.
又由于AC⫋平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,
所以选C.
4.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是(　　)
A.l⫋α,m⫋β,且l⊥m
B.l⫋α,m⫋β,n⫋β,且l⊥m,l⊥n
C.m⫋α,n⫋β,m∥n,且l⊥m
D.l⫋α,l∥m,且m⊥β〚导学号92950520〛
答案:D
解析:对于A,l⫋α,m⫋β,且l⊥m,如图(1),α,β不垂直;
对于B,l⫋α,m⫋β,n⫋β,且l⊥m,l⊥n,如图(2),α,β不垂直;

对于C,m⫋α,n⫋β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系也不能确定;
对于D,l⫋α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知,α⊥β.
5.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有(　　)
A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC
答案:C
解析:∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,
∴AD⊥平面BDC.
又AD⫋平面ADC,
∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.
6.

如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,那么(　　)
A.PA=PB>PC
B.PA=PB<PC
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
答案:C
解析:∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,
∴BM=AM=CM.
又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,
故PA=PB=PC.
7.

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足　　　　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可). 
答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)
解析:∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,
∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⫋平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
8.

如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有　　　　　　　;与AP垂直的直线有　　　　　. 
答案:AB,BC,AC　AB
解析:∵PC⊥平面ABC,
∴PC垂直于直线AB,BC,AC.
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥AP,即与AP垂直的直线是AB.
9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:　　　　　　　　　(用序号表示). 
答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)
解析:逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.
10.

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.
(1)求证:B1D1∥平面A1BD;
(2)求证:MD⊥AC;
(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
(1)证明:由直四棱柱,得BB1∥DD1,
又∵BB1=DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴B1D1∥BD.
而BD⫋平面A1BD,B1D1⊈平面A1BD,
∴B1D1∥平面A1BD.
(2)证明:∵BB1⊥平面ABCD,AC⫋平面ABCD,∴BB1⊥AC.
∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D.
而MD⫋平面BB1D,∴MD⊥AC.
(3)解:当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.
证明如下:

取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.
∵N是DC的中点,且BD=BC,
∴BN⊥DC.
又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
∴BN⊥平面DCC1D1.
又可证得O是NN1的中点,
∴BM∥ON且BM=ON,
即四边形BMON是平行四边形,
∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.
∵OM⫋平面DMC1,
∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.〚导学号92950521〛
11.

如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
证明:

(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,
∵N是PC的中点,E为PD的中点,
∴NE∥CD,且NE=CD,
而AM∥CD,且AM=AB=CD,
∴NE􀱀AM,
∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE.
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵ABCD为矩形,∴AD⊥CD.
而AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AE.又AE∥MN,∴MN⊥CD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,
又∠PDA=45°,
∴△PAD为等腰直角三角形.
又E为PD的中点,
∴AE⊥PD,又由(1)知CD⊥AE,PD∩CD=D,
∴AE⊥平面PCD.
又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.
12.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.

图①

图②

(1)证明:CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.
(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC.
即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
从而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1),A1O⊥BE,
所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.〚导学号92950522〛
能力提升组
13.已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.其中正确的是(　　)
A.①④ B.②④ C.②③ D.③④
答案:B
解析:

如图,由题意,β∩γ=l,∴l⫋γ.由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,∴l⊥α,即②正确;由β∩γ=l,∴l⫋β,由l⊥α,得α⊥β,即④正确;而①③条件不充分,不能判断.
14.

如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
答案:A
解析:由BC1⊥AC,又BA⊥AC,
则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,
因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.
15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是(　　)

A.A'C⊥BD
B.∠BA'C=90°
C.CA'与平面A'BD所成的角为30°
D.四面体A'-BCD的体积为〚导学号92950523〛
答案:B
解析:取BD的中点O,连接A'O,OC.
∵A'B=A'D,∴A'O⊥BD.
又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,
∴A'O⊥平面BCD.
∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD.
假设A'C⊥BD,又A'C∩A'O=A',
∴BD⊥平面A'OC,∴BD⊥OC,与OC不垂直于BD矛盾,
∴A'C不垂直于BD,A错误.
∵CD⊥BD,平面A'BD⊥平面BCD,
∴CD⊥平面A'BD,∴CD⊥A'D,∴A'C=.
∵A'B=1,BC=,
∴A'B2+A'C2=BC2,A'B⊥A'C,B正确;
∠CA'D为直线CA'与平面A'BD所成的角,∠CA'D=45°,C错误;VA'-BCD=S△A'BD·CD=,D错误,故选B.
16.假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:
①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.
其中能成为增加条件的是　　　　　.(把你认为正确的条件序号都填上) 
答案:①③
解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.
17.

如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)证明:AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
(1)证明:因为BB1⊥平面ABCD,AC⫋平面ABCD,所以AC⊥BB1.
又AC⊥BD,所以AC⊥平面BB1D.而B1D⫋平面BB1D,所以AC⊥B1D.
(2)解:因为B1C1∥AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ).

连接A1D.因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,
且∠B1A1D1=∠BAD=90°,
所以A1B1⊥平面ADD1A1,从而A1B1⊥AD1.
又AD=AA1=3,
所以四边形ADD1A1是正方形,于是A1D⊥AD1.
故AD1⊥平面A1B1D,于是AD1⊥B1D.
由(1)知,AC⊥B1D,所以B1D⊥平面ACD1.
故∠ADB1=90°-θ.
在直角梯形ABCD中,因为AC⊥BD,
所以∠BAC=∠ADB.
从而Rt△ABC∽Rt△DAB,
故,即AB=.
连接AB1,易知△AB1D是直角三角形,且B1D2=B+BD2=B+AB2+AD2=21,即B1D=.
在Rt△AB1D中,cos∠ADB1=,
即cos(90°-θ)=.从而sin θ=.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.〚导学号92950524〛
18.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.

(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(3)若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
(1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,
所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.
因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.
(2)解:因为点C在圆O上,
所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.
又AB=2,所以△ABC面积的最大值为×2×1=1.
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,
故三棱锥P-ABC体积的最大值为×1×1=.
(3)解:(方法一)在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°.
所以PB=.
同理PC=,所以PB=PC=BC.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
又因为OP=OB,C'P=C'B,
所以OC'垂直平分PB,
即E为PB中点.
从而OC'=OE+EC'=,
亦即CE+OE的最小值为.

(方法二)在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以∠OPB=45°,PB=.
同理PC=.
所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
所以在△OC'P中,由余弦定理得:
OC'2=1+2-2×1××cos(45°+60°)
=1+2-2
=2+.
从而OC'=.
所以CE+OE的最小值为.〚导学号92950525〛

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