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第四章 几何图形的初步
4.3.3 余角和补角
基础篇
一. 选择题（共10小题)
1．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】∵∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，
∴∠β=180°﹣∠α，
∠α的余角是90°﹣α，
∠β﹣90°=180°﹣∠α﹣90°=90°﹣∠α，
（∠β+∠α）=（180°﹣∠α+∠α）=90°，
（∠β﹣∠α）=（180°﹣∠α﹣∠α）=90°﹣∠α，
即①②④，3个，
故选C．
2．（2018·南宁市期末）下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
根据余角的定义，两角之和为90°，这两个角互余．
D中∠1和∠2之和为90°，互为余角．
故选：D．
3．（2018·卢龙县期中）如果与互补，与互余，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【详解】
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠3=90°
∴∠3=90°-∠2
∴∠1-∠3=90°，即∠1=90°+∠3．
故选C．
4．（2018·宁海县期末）如图，点O在直线DB上，已知∠1=15°，∠AOC=90°，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：∵∠1=15°，∠AOC=90°，
∴∠COB=75°，
∴∠2=180°-∠COB=105°．
故选：B．
5．已知∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则∠β的余角可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵∠α与∠β互补，
∴∠α+∠β=180°，
∵∠α＞∠β，
∴∠β=180°-∠α，
∴∠β的余角为：90°-（180°-∠α）=∠α-90°=∠α-（∠α+∠β）=∠α−∠β=（∠α-∠β），
故选：C．
6．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=α，∠BOC=β，则β的余角可表示为（ ）
A．（α+β） B．α C．（α﹣β） D．β
【答案】C
【详解】由邻补角的定义，得
∠α+∠β=180°，
两边都除以2，得
（α+β）=90°，
β的余角是 （α+β）-β= （α-β），
故选C．
7．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1=58°，则∠3=（ ）
A．58° B．148° C．158° D．32°
【答案】B
【详解】
解：∵∠1与∠2互余，∠1=58°，
∴∠2=90°﹣∠1=32°，
又∵∠2与∠3互补，
∴∠3=180°﹣∠2=180°﹣32°=148°.
故选：B.
8．（2018·海口市期末）如图∠BCA=90，CD⊥AB，则图中互余的角有（ ）对.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】
∵∠BCA=90，CD⊥AB，
∴互余的角有：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠ACD与∠BCD，∠BCD与∠B，共4对．
故选：D．
9．（2018·武汉市期末）如图，点B在点A的方位是（ ）
A．南偏东43° B．北偏西47° C．西偏北47° D．东偏南47°
【答案】B
【详解】
解：如图，由余角的定义，得∠CAB=90º-43º=47º，
∴点B在点A的北偏西47º.
故选B.
10．（2018·惠州市实验中学初一期末）一个角的补角为158°，那么这个角的余角是（ ）
A．22° B．52° C．58° D．68°
【答案】C
【详解】
详解：
设原角为∠α，所求角为∠β，
则∠α=180°-158°=22°，
∠β=90°-∠α=68°．
故选C．
提高篇
二. 填空题（共5小题)
11．（2018·兴化市期末）如图，射线OA⊥OC，射线OB⊥OD，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____°.
【答案】40
【详解】
解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=90°，∠BOD=90°，
∴∠AOB与∠BOC互余，
∠COD与∠BOC互余，
∴∠AOB=∠COD =40°，
故答案为：40°．
12．（2019·顺义区期末）如图，相交于点，平分，若，则的度数是_____________.
【答案】150°
【详解】
∵∠BOC＝，
∴∠AOD＝∠BOC＝.
∴∠AOC＝−＝，
∵OE平分∠AOD
∴∠AOE＝∠AOD＝×.
∴∠AOC＋，
故答案为：.
13．（2018·北京北方交大附中第二分校初一期末）一个角的余角比它的补角的多1°，则这个角的度数为______度．
【答案】63
【详解】
设这个角为 x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，
根据题意有：（90﹣x）=（180﹣x）+1，
解得 x=63，
故答案为：63．
14．（2019·南山区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为_____．
【答案】140°
【解析】
详解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．
故答案为：140°．
15．（2018·长兴县期末）一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，则这个角为_____度．
【答案】80
【解析】
试题解析：设这个角为x，则它的余角为 补角为
由题意得，
解得
故答案为：80.
三. 解答题（共2小题)
16．（2017·扬州中学教育集团树人学校初一期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，，
图中的余角是______把符合条件的角都填出来；
如果，那么根据______可得______度；
如果，求和的度数．
【答案】（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°
【解析】
试题分析：（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；
（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；
（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.
试题解析：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；
（3）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠1=64°，
∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．
17．（2017·弥勒市江边中学初一期末）如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．
【答案】80°
【解析】
设∠BOE=x°，则∠EOC=2x°，由∠DOE=70°，OD平分∠AOB知，∠AOD=∠DOB=70°﹣x°，再根据∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC=180°，列出关于x的方程求解即可．
解：如图，设∠BOE=x°，
∵∠BOE=∠EOC，
∴∠EOC=2x°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠DOB=70°﹣x°，
∵∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC=180°，
∴70°﹣x°+70°﹣x°+x°+2x°=180°，
∴x°=40°，
∴∠EOC=80°．
18．（2018·扬州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．
【答案】（1）56°；（2）80°．
【分析】
(1) 根据对顶角相等和角平分线的定义计算即可;
(2) 设∠AOC=x, 根据对顶角相等和角平分线的定义用x表示出∠BOE和∠EOF, 根据题意列方程, 解方程即可.
【详解】
（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=68°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=34°，
∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=56°；
（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=（180°﹣x），
由题意得，（180°﹣x）﹣x=30°，
解得，x=80°，
∴∠AOC=80°．
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