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分分钟搞定系统机械能守恒问题
（答题时间：30分钟）
1. 斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 物体的重力势能减少，动能增加
B. 斜面的机械能不变
C. 斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D. 物体和斜面组成的系统机械能守恒
2. 如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是（ ）
A. A开始运动时
B. A的速度等于v时
C. B的速度等于零时
D. A和B的速度相等时
3. 如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过轻绳连接在一起，跨过光滑的定滑轮，圆环套在光滑的竖直杆上，设杆足够长。开始时连接圆环的绳处于水平，长度为l，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，以下说法正确的是（ ）
A. 当M＝2m时，l越大，则小环m下降的最大高度h越大
B. 当M＝2m时，l越大，则小环m下降的最大高度h越小
C. 当M＝m时，且l确定，则小环m下降过程中，速度先增大后减小到零
D. 当M＝m时，且l确定，则小环m下降过程中，速度一直增大
4. 如图所示，在光滑固定的曲面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根轻质弹簧相连，用手拿着A按如图所示竖直放置，AB间距离L＝0.2 m，小球B刚刚与曲面接触且距水平面的高度h＝0.1 m。此时弹簧的弹性势能Ep＝1 J，自由释放后两球以及弹簧从静止开始下滑到光滑地面上，以后一直沿光滑地面运动，不计一切碰撞时机械能的损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是（ ）
A. 下滑的整个过程中，弹簧和A球组成的系统机械能守恒
B. 下滑的整个过程中，两球及弹簧组成的系统机械能守恒
C. B球刚到地面时，速度是m/s
D. 当弹簧处于原长时，以地面为参考平面，两球在光滑水平面上运动时的机械能为6 J
5. 如图是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系物体A、B，且mA＝2mB，从图示位置由静止开始释放A物体，当物体B到达半圆顶点时，求绳的张力对物体B所做的功。
6. 有一个固定的光滑直杆，该直杆与水平面的夹角为53°，杆上套着一个质量为m＝2 kg的滑块（可视为质点）。
（1）如图甲所示，滑块从O点由静止释放，下滑了位移x＝1 m后到达P点，求滑块此时的速率。
（2）如果用不可伸长的细绳将滑块m与另一个质量为M＝2.7kg的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂M而绷紧，此时滑轮左侧绳恰好水平，其长度L＝m（如图乙所示）。再次将滑块从O点由静止释放，求滑块滑至P点的速度大小。（整个运动过程中M不会触地，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2）
7. 如图所示，在竖直方向上，A、B两物体通过劲度系数为k＝16 N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在倾角α＝30°的固定光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m＝0.2 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放C后它沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：
（1）从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；
（2）物体C的质量；
（3）释放C到A刚离开地面的过程中，细线的拉力对物体C做的功。
1. AD 解析：物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A正确。物体在下滑过程中，斜面做加速运动，其机械能增加，B错误。物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误。对物体与斜面组成的系统，只有物体的重力和物体与斜面间的弹力做功，机械能守恒，D正确。
2. D 解析：因系统只有弹力做功，系统机械能守恒，故A、B组成的系统动能损失最大时，弹簧弹性势能最大。又因当两物体速度相等时，A、B间弹簧形变量最大，弹性势能最大，故D项正确。
3. AD 解析：设小环下降的最大高度为h，由系统机械能守恒可得，mgh＝Mg（－l），当M＝2m时，h＝l，所以A项正确；以B点为零势能面，当M＝m时，小环在下降过程中系统的重力势能一直在减少，即系统的动能一直在增加，所以D项正确。
4. BD 解析：系统涉及弹簧和A、B两个小球，机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。本题中需特别注意的是弹簧对A、B都有作用力。由于弹簧和B之间有作用力，弹簧和A球组成的系统机械能不守恒，A项错；由于没有摩擦，系统只有弹簧弹力和重力做功，则B项正确；因为弹簧作用于B，并对B做功，B的机械能不守恒，而m/s是根据机械能守恒求解出的，所以C项错；根据系统机械能守恒，到地面时的机械能与刚释放时的机械能相等，又弹簧处于原长，则E＝mAg（L＋h）＋mBgh＋Ep＝6 J，D项对。
5. 解：物体B到达半圆顶点时，系统势能的减少量为ΔEp＝mAg－mBgR，系统动能的增加量为ΔEk＝（mA＋mB）v2，
由ΔEp＝ΔEk得v2＝（π－1）gR
对B由动能定理得：W－mBgR＝mBv2
绳的张力对物体B做的功W＝mBv2＋mBgR＝mBgR。
6. 解：（1）设滑块下滑至P点时的速度为v1，
由机械能守恒定律得
mgxsin 53°＝m
解得v1＝4 m/s；
（2）设滑块再次滑到P点时速度为v2，M的速度为vM，如图，将v2进行分解得：vM＝v2cos θ，绳与直杆的夹角为θ，由几何关系得θ＝90°，vM＝0，再由系统机械能守恒定律得：
MgL（1－sin 53°）＋mgxsin 53°＝m＋0，
解得v2＝5 m/s。
7. 解：（1）设开始时弹簧的压缩量为xB，得：kxB＝mg ①
设物体A刚离开地面时，弹簧的伸长量为xA，得：kxA＝mg ②
当物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离为：h＝xA＋xB ③
由①②③式解得：h＝＝0.25 m； ④
（2）物体A刚离开地面时，物体B获得最大速度vm，加速度为零，设C的质量为M，此时C亦获得最大速度，加速度为零，对B有：T－mg－kxA＝0 ⑤
对C有：Mgsinα－T＝0 ⑥
由②⑤⑥式得：Mgsinα－2mg＝0 ⑦
解得：M＝4m＝0.8 kg； ⑧
（3）由于xA＝xB，物体B开始运动到速度最大的过程中，弹簧由压缩变为伸长，弹力做功为零，且B、C两物体速度大小相等，由能量守恒有：Mghsinα－mgh＝（m＋M）
解得：vm＝1 m/s
对C由动能定理可得：Mghsinα＋WT＝M
解得：WT＝－0.6 J。
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