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分分钟搞定单体机械能守恒问题
（答题时间：20分钟）
1. 质量为m的小球从高H处由静止开始自由下落，以地面作为参考平面。当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为（ ）
A. 2mg B. mg C. mg D. mg
2. 如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中（弹簧保持竖直），下列关于能的叙述正确的是（ ）
A. 小球的动能先增大后减小
B. 弹簧的弹性势能不断增大
C. 小球的加速度先增大后减小
D. 小球的机械能先增大后减小
3. 两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧斜面的顶点滑向底部，如图所示，如果它们的初速度为零，则下列说法正确的是（ ）
A. 下滑过程中重力所做的功相等
B. 它们到达底部时动能相等
C. 它们到达底部时速率相等
D. 它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
4. 如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 小球落地点离O点的水平距离为2R
B. 小球落地时的动能为mgR
C. 小球运动到半圆弧最高点P时，向心力恰好为零
D. 若将半圆弧轨道上部的圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
5. 如图所示是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置，M是半径为R＝1.0 m的固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平。N为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为半径r＝m的圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M轨道的上端点。M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量为m＝0.01kg的小钢珠。假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M的上端点，水平飞出后落到曲面N的某一点上，取g＝10 m/s2。问：
（1）发射该钢珠前，弹簧枪的弹性势能Ep多大？
（2）钢珠落到圆弧N上时的动能Ek多大？（结果保留两位有效数字）
6. 如图甲所示，圆形玻璃平板半径为r，离水平地面的高度为h，一质量为m的小木块放置在玻璃板的边缘，随玻璃板一起绕圆心O在水平面内做匀速圆周运动。
（1）若匀速圆周运动的周期为T，求木块的线速度和所受摩擦力的大小；
（2）缓慢增大玻璃板的转速，最后木块沿玻璃板边缘的切线方向水平飞出，落地点与通过圆心O的竖直线间的距离为s，俯视图如图乙。不计空气阻力，重力加速度为g，试求木块落地前瞬间的动能。
7. 如图所示，一质量m＝0.4 kg的滑块（可视为质点）静止于动摩擦因数μ＝0.1的水平轨道上的A点。现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P＝10.0 W。经过一段时间后撤去外力，滑块继续滑行至B点后水平飞出，恰好在C点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6 N。已知轨道AB的长度L＝2.0 m，半径OC和竖直方向的夹角α＝37°，圆形轨道的半径R＝0.5 m。（空气阻力可忽略，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）求：
（1）滑块运动到C点时速度vC的大小；
（2）B、C两点的高度差h及水平距离s；
（3）水平外力作用在滑块上的时间t。
1. B 解析：动能和重力势能相等时，由机械能守恒定律有。下落高度为h＝，速度v＝＝，故P＝mg·v＝mg，B选项正确。
2. AB 解析：对小球受力分析，可看到弹力向上且增加，当弹力N＜mg，a方向向下但减小，v向下加速，当弹力N＝mg时，a＝0，加速停止，此时速度最大，当弹力N＞mg时，a方向向上但增加，v向下减速。所以A对C错。弹簧始终被压缩，故弹簧的弹性势能始终增加，B对。小球下落时，弹力对其做负功，故机械能减少，D错。
3. CD 解析：小铁块A和B在下滑的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由mgH＝mv2得v＝，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D均正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误。
4. AD 解析：由题意知在最高点有mg＝m，故小球经过P点时的速度大小v＝，C错。由2R＝gt2、x＝vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A对。根据动能定理2mgR＝Ek－mv2得小球落地时的动能Ek＝2mgR＋mv2＝mgR，B错误。由mgh＝mgR得小球能达到的最大高度h＝2.5R，比P点高0.5R，D对。
5. 解：（1）设钢珠运动到轨道M最高点的速度为v，在M的最低点的速度为v0，则在最高点，由题意得mg＝m。
从最低点到最高点，由机械能守恒定律得：
m＝mgR＋mv2
解得：v0＝
由机械能守恒定律得：Ep＝m＝mgR＝1.5×10－1 J；
（2）钢珠从最高点飞出后，做平抛运动，x＝vt，y＝gt2
由几何关系知x2＋y2＝r2，联立解得t2＝s2。
所以，钢珠从最高点飞出后落到圆弧N上下落的高度为y＝0.3 m
由机械能守恒定律得，钢珠落到圆弧N上时的动能Ek为
Ek＝mv2＋mgy＝8.0×10－2 J。
6. 解：（1）根据匀速圆周运动的规律可得木块的线速度大小为：v＝
木块所受摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，有
Ff＝m（）2r；
（2）木块脱离玻璃板后在竖直方向上做自由落体运动，有
h＝gt2
在水平方向上做匀速直线运动，水平位移为：x＝vt
x与距离s、半径r的关系为s2＝r2＋x2
木块从抛出到落地前机械能守恒，得＝mv2＋mgh
由以上各式解得木块落地前瞬间的动能＝mg（＋h）。
7. 解：（1）滑块运动到D点时，由牛顿第二定律得FN－mg＝m
滑块由C点运动到D点的过程，由机械能守恒定律得
mgR（1－cos α）＋mvC2＝mvD2
联立解得vC＝5 m/s；
（2）滑块在C点时，速度的竖直分量为
vy＝vCsin α＝3 m/s
B、C两点的高度差为h＝＝0.45 m
滑块由B运动到C所用的时间为ty＝＝0.3 s
滑块运动到B点时的速度为
vB＝vCcos α＝4 m/s
B、C间的水平距离为s＝vBty＝1.2 m；
（3）滑块由A点运动到B点的过程，由动能定理得
Pt－μmgL＝mvB2
解得t＝0.4 s。
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