大学物理物理学角动量守恒定律.pptx

1 大大 学学 物物 理理2第四章第四章 角动量守恒定律角动量守恒定律4-1 力矩力矩4-2 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律3补充：矢量1、矢量的加法和减法、矢量的加法和减法平行四边形法则、三角形法则平行四边形法则、三角形法则2、矢量的数乘、矢量的数乘3 3、矢量的标积（点积）、矢量的标积（点积）4 4、矢量的矢积（叉积）、矢量的矢积（叉积）45 5、矢量函数的导数（只介绍一元函数）、矢量函数的导数（只介绍一元函数）56 6、矢量函数的积分、矢量函数的积分64-1 力矩力矩一、引入一、引入外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。位置有关。力通过转轴力通过转轴：转动状态不改变转动状态不改变力离转轴远力离转轴远：容易改变容易改变力离转轴近力离转轴近：不易改变不易改变二、力对点的力矩二、力对点的力矩rFOrFM7 力矩力矩M与质点的位置矢量与质点的位置矢量r有关，也就是与参考有关，也就是与参考点点O的选取有关。为了表示力矩的选取有关。为了表示力矩M是相对于参考点是相对于参考点O的，所以一般在画图时总是把的，所以一般在画图时总是把 力矩力矩M画在参考点画在参考点O上，上，而不是画在质点而不是画在质点P上。上。如果：如果：则：则：即：合力对某参考点即：合力对某参考点O的力矩等于各分力对同一的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和。点力矩的矢量之和。8三、力对转轴的力矩三、力对转轴的力矩 在以参考点在以参考点O为原点的直角坐标系中，将力矩矢为原点的直角坐标系中，将力矩矢量量M表示为：表示为：力对力对O点的力矩在通过点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。转轴的力矩。若若9即即如果我们要求出如果我们要求出Mz,应先将矢量应先将矢量r和和F投影到投影到xy平面平面上，再分解到上，再分解到x 和和y轴上，然后利用上式计算。轴上，然后利用上式计算。104-2 4-2 质点质点角动量守恒守律角动量守恒守律一一.质点的角动量质点的角动量 l=rmvsin=m d 设设质质点点对对o的的位位矢矢为为r,动动量量为为p=m (见见图图),则则质质点点对对o点的点的角动量角动量(也称动量矩也称动量矩)为为角动量的大小角动量的大小式中式中是是r 与与 两矢量间的夹角。两矢量间的夹角。角动量的方向垂直于矢径角动量的方向垂直于矢径r 和和 所组成的平面所组成的平面,指指向是向是r 经小于经小于180o的角转到的角转到 时右螺旋的前进方向。时右螺旋的前进方向。dm rol11LL 若若质质点点以以角角速速度度 沿沿半半径径r的的圆圆周周运运动动(如如图图),质质点对给定点点对给定点o(圆心圆心)的角动量的大小的角动量的大小显显然然，此此时时角角动动量量l的的方方向向与与角角速速度度 的的方方向向相相同同，就象图所示的那样，可由右手螺旋确定。就象图所示的那样，可由右手螺旋确定。按按SI制制,角动量的单位是千克角动量的单位是千克米米2/秒秒(kgm2/s)。角角动动量量的的大大小小和和方方向向不不仅仅决决定定于于质质点点的的运运动动,也也依依赖赖于于所所选选定定的的参参考考点点,即即参参考考点点不不同同,质质点点的的角角动动量量也也不不同。同。l=Pr=m r=m r2 12二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理设质点的质量为设质点的质量为m，在合力，在合力F 的作用下，运动方程的作用下，运动方程考虑到考虑到得得所以所以质点的角动量定理：质点的角动量定理：作用于作用于质点的合力对某参考点的力矩，质点的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点的角动等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率。量随时间的变化率。成立条件：成立条件：惯性系惯性系13这样这样,上式左端的积分称为冲量矩。上式的意义是上式左端的积分称为冲量矩。上式的意义是:合外力矩合外力矩的冲量的冲量(冲量矩冲量矩)等于质点角动量的增量。等于质点角动量的增量。它是质点角它是质点角动量定理的积分形式。动量定理的积分形式。将上式两边同乘以将上式两边同乘以dt再积分得再积分得 对比：对比：14若把方程若把方程投影到投影到OZ轴上，则可得到轴上，则可得到这表示，这表示，质点对某轴的角动量随时间的变化率，质点对某轴的角动量随时间的变化率，等于作用于质点的合力对同一轴的力矩等于作用于质点的合力对同一轴的力矩。这称为这称为质点对轴的角动量定理。质点对轴的角动量定理。15 这就是说这就是说,对一固定点对一固定点o,质点所受的质点所受的合外力矩为合外力矩为零零,则此质点的则此质点的角动量矢量保持不变。角动量矢量保持不变。这一结论叫这一结论叫做质点做质点角动量守恒定律角动量守恒定律。三、质点角动量守恒守律三、质点角动量守恒守律 根据上式根据上式,如果如果合外力矩零合外力矩零(即即M外外=0),则则l1=l2,l=常矢量常矢量即即对比：对比：角动量守恒定律是：角动量守恒定律是：M外外=0，则，则l=常矢量。常矢量。动量守恒定律是：动量守恒定律是：F外外=0，则，则p=常矢量。常矢量。16有三种情况有三种情况1.r=0，质点处于参考点上静止不动；，质点处于参考点上静止不动；2.F=0，所讨论的是孤立质点；，所讨论的是孤立质点；3.r0,F0,但但rF=0，即，即r和和F总是平行的，如万有引总是平行的，如万有引力和静电力这样的有心力。力和静电力这样的有心力。若若M0,但但Mz0，则，则lz=恒量恒量这表示，当作用于质点的合外力对这表示，当作用于质点的合外力对OzOz轴的力矩为轴的力矩为零时，质点对该轴的角动量保持不变。这叫做零时，质点对该轴的角动量保持不变。这叫做质质点对轴的角动量守恒定律。点对轴的角动量守恒定律。17 解解 例题例题4-1 一质点的质量为一质点的质量为m，位矢为：位矢为：r=acos t i+bsin t j(式中式中a、b、均为常量均为常量);求求质点的角动量及它所受的力矩。质点的角动量及它所受的力矩。00=mabkF=ma=-m2rM=rF=-m2rr=018 解解 绳的拉力对绳的拉力对o点的力矩为点的力矩为零零,故小球在运动中对故小球在运动中对o点的角动点的角动量守恒量守恒,于是有于是有 mr2 0=m(r/2)2 =4 0 由动能定理，由动能定理，拉力的功为拉力的功为 F0rom 例题例题4-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔的小孔o，绳的一端系有一质量为，绳的一端系有一质量为m的小球并放在的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度速度 0绕孔绕孔o作半径作半径r的匀速圆周运动的匀速圆周运动,现在向下缓慢现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这时止，求这一过程中拉力的功。一过程中拉力的功。19d 解得解得:=4m/s,=300。解解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量和机械能都守恒：和机械能都守恒：例题例题4-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强倔强系数为系数为k=100N/m,一端固定于一端固定于o点，另一端连接一质点，另一端连接一质量为量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的长度为长度为l0=0.2m(自然长度自然长度),滑块速度滑块速度 0=5m/s,方向与方向与弹簧垂直。当弹簧转过弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度时，其长度l=0.5m，求此，求此时滑块速度时滑块速度 的大小和方向。的大小和方向。ol0l 0mmm 0l0=m lsin 20 m 0R=m 3Rsin 解解 火箭运动过程中只受引力火箭运动过程中只受引力(保守力保守力)作用作用,机械能机械能守恒、对守恒、对o点的角动量守恒：点的角动量守恒：Co 0AMRo3Rm解解得得 例题例题4-4 质量为质量为m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 0沿地球表沿地球表面发射出去，如图所示。地轴面发射出去，如图所示。地轴oo 与与 0平行，火箭平行，火箭A的的运动轨道与地轴运动轨道与地轴oo 相交于距相交于距o为为3R的的C点。不考虑地点。不考虑地球的自转和空气阻力，求火箭球的自转和空气阻力，求火箭A在在C点的速度点的速度 与与 0之间之间的夹角的夹角。(设地球的质量为设地球的质量为M、半径为、半径为R)21 当当系系统统所所受受的的合合外外力力力力矩矩为为零零时时,系系统统的的总总角角动动量量的的矢量和就保持不变。矢量和就保持不变。对比：对比：系统系统角动量守恒角动量守恒是是：系统系统动量守恒动量守恒是是：在日常生活中在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。利用角动量守恒的例子也是很多的。定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若干个物定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若干个物体组成的系统。体组成的系统。系统的角动量守恒定律描述如下：系统的角动量守恒定律描述如下：时时,时时,2223 角角动动量量守守恒恒在在现现代代技技术术中中有有着着非非常常广广泛泛的的应应用用。例例如如直直升升飞飞机机在在未未发发动动前前总总角角动动量量为为零零,发发动动以以后后旋旋翼翼在在水水平平面面内内高高速速旋旋转转必必然然引引起起机机身身的的反反向向旋旋转转。为为了了避避免免这这种种情情况况,人人们们在在机机尾尾上上安安装装一一个个在在竖竖直直平平面面旋旋转转的的尾尾翼翼,由由此此产产生生水水平平面面内内的的推推动动力力来来阻阻碍碍机机身身的的旋旋转转运运动动。与与此此类类似似,鱼鱼雷雷尾尾部部采采用用左左右右两两个个沿沿相相反反方方向向转转动动的的螺螺旋旋浆浆来来推推动动鱼鱼雷雷前前进进,也也是是为为了了避避免免鱼鱼雷雷前前进进中中的的自自旋旋。安安装装在在轮轮船船、飞飞机机、导导弹弹或或宇宇宙宙飞飞船船上上的的回回转转仪仪(也也叫叫“陀陀螺螺”)的的导导航航作作用用，也也是是角角动动量量守守恒恒应应用用的最好例证。的最好例证。以上内容的学习要点：以上内容的学习要点：掌握角动量守恒的条件掌握角动量守恒的条件及用角动量守恒定律求解问题的方法。及用角动量守恒定律求解问题的方法。24第四章习题第四章习题1，4，7，8，9