2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(山东卷详解).docx

2022·山东卷(理科数学)
1．[2022·山东卷] a，b∈R，i是虚数单位，假设a－i与2＋bi互为共轭复数，那么(a＋bi)2＝(　　)
A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i
1．D[解析]因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.应选D.
2．，[2022·山东卷] 设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，那么A∩B＝(　　)
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
2．C[解析]根据得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．应选C.
3．，[2022·山东卷] 函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
3．C[解析]根据题意得，解得应选C.
4．[2022·山东卷] 用反证法证明命题“设a，b为实数，那么方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根〞时，要做的假设是(　　)
A.方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C.方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．A[解析]“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根〞等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根〞，所以该命题的否认是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根〞．应选A.
5．，，[2022·山东卷] 实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下关系式恒成立的是(　　)
A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C. sin x＞sin y D. x3＞y3
5．D[解析]因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，＞都不一定正确，应选D.
6．[2022·山东卷] 直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)
A.2B.4　C.2D.4
6．D[解析]直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝0＝4，应选D.

图1­1
A.6B.8 C.12D.18
7．C[解析]因为第一组与第二组一共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的人数比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组有20＝12.又因为第一组与第三组的人数比是0.24∶0.36＝2∶3，所以第三组一共有12÷＝18.因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.
8．[2022·山东卷] 函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，假设方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，那么实数k的取值范围是(　　)
A.B.C.(1，2) D.(2，＋∞)
8．B[解析]画出函数f(x)的图像，如下列图．假设方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，那么函数f(x)，g(x)有两个交点，那么k＞，且k＜1.应选B.
9．[2022·山东卷] x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A.5B.4 C.D.2
9．B[解析]画出约束条件表示的可行域(如下列图)．
显然，当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，即2＝2a＋b，所以2－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20，构造函数m(a)＝5a2－8a＋20(>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－8a＋20的最小值是＝4，即a2＋b2的最小值为4.应选B.
10．，[2022·山东卷] a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，那么C2的渐近线方程为(　　)
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
10．A[解析]椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝＝，
解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.应选A.
11．[2022·山东卷] 执行如图1­2所示的程序框图，假设输入的x的值为1，那么输出的n的值为____．
图1­2
11．3[解析]x＝1满足不等式，执行循环后，x＝2，n＝1；x＝2满足不等式，执行循环后，x＝3，n＝2；x＝3满足不等式，执行循环后，x＝4，n＝3；x＝4不满足不等式，结束循环，输出的n的值为3.
12．，[2022·山东卷] 在△ABC中，·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为______．
12.[解析] 因为AB·AC＝||·||cosA＝tanA，且A＝，所以||·||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sinA＝sin＝.
13．[2022·山东卷] 三棱锥P ­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，那么＝________．
13.[解析] 如下列图，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝S△PBC.又因为三棱锥A­BDE与三棱锥A­PBC的高长度相等，所以＝.
14．，[2022·山东卷] 假设的展开式中x3项的系数为20，那么a2＋b2的最小值为________．
14．2[解析]Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.
15．[2022·山东卷] 函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数〞为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．假设h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数〞，且h(x)＞g(x)恒成立，那么实数b的取值范围是________．
15．(2，＋∞)　[解析]g(x)的图像表示圆的一局部，即x2＋y2＝4(y≥0)．当直线y＝3x＋b与半圆相切时，满足h(x)>g(x)，根据圆心(0，0)到直线y＝3x＋b的距离是圆的半径求得＝2，解得b＝2或b＝－2(舍去)，要使h(x)>g(x)恒成立，那么b＞2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)．
16．，[2022·山东卷] 向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，假设y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
16．解：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.
因为y＝f(x)的图像过点和点，
所以
即
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sin＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝.
因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
17．，[2022·山东卷]如图1­3所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．
图1­3
(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；
(2)假设CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．
17．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，
且AB＝2CD，所以AB∥DC，
又M是AB的中点，
所以CD∥MA且CD＝MA.
连接AD1.因为在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，
CD∥C1D1，CD＝C1D1，
所以C1D1∥MA，C1D1＝MA，
所以四边形AMC1D1为平行四边形，
因此，C1M∥D1A.
又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，
所以C1M∥平面A1ADD1.
(2)方法一：连接AC，MC.
由(1)知，CD∥AM且CD＝AM，
所以四边形AMCD为平行四边形，
所以BC＝AD＝MC.
由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，
所以△MBC为正三角形，
因此AB＝2BC＝2，CA＝，
因此CA⊥CB.
设C为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系C­xyz.
所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，)．
因此M，
所以＝，＝＝.
设平面C1D1M的一个法向量n＝(x，y，z)，
由得
可得平面C1D1M的一个法向量n＝(1，，1)．
又＝(0，0，)为平面ABCD的一个法向量．
因此cos〈，n〉＝＝，
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
方法二：由(1)知，平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N.
由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，
因此∠D1NC为二面角C1­AB­C的平面角．
在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，
可得CN＝，
所以ND1＝＝.
在Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝＝＝，
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
18．，[2022·山东卷] 乒乓球台面被网分隔成甲、乙两局部，如图1­4所示，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
图1­4
18．解：(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分〞(i＝0，1，3)，
那么P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝；
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分〞(i＝0，1，3)，
那么P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上〞．
由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，
由事件的独立性和互斥性，
P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)
＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)
＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)·P(B1)＋P(A0)P(B3)
＝＋＋＋
＝，
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6.
(2)由事件的独立性和互斥性，得
P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝＝，
P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝＋＝，
P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝＝，
P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝＋＝，
P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝＝.
可得随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
6
P

所以数学期望Eξ＝0＋1＋2＋3＋4＋6＝.
19．，，[2022·山东卷] 等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
19．解： (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋2＝4a1＋12，
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)由题意可知，
bn＝(－1)n－1
＝(－1)n－1
＝(－1)n－1.
当n为偶数时，
Tn＝－＋…＋－
＝1－
＝.
当n为奇数时，
Tn＝－＋…－＋
＝1＋
＝.
所以Tn＝
20．[2022·山东卷] 设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)假设函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
20．解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－k
＝－
＝.
由k≤0可得ex－kx>0，
所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．
因为g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，
当0<k≤1时，
当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增，
故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．
当k>1时，得x∈(0，lnk)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减；
x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk)．
函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点．
当且仅当
解得e<k<.
综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.
21．，，[2022·山东卷] 抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)假设直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值假设存在，请求出最小值；假设不存在，请说明理由．
21．解：(1)由题意知F.
设D(t，0)(t>0)，那么FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①证明：由(1)知F(1，0)．
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．
因为|FA|＝|FD|，那么|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，那么yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，
整理可得y＝(x－1)，
直线AE恒过点F(1，0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．
所以直线AE过定点F(1，0)．
②由①知，直线AE过焦点F(1，0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A(x0，y0)在直线AE上，
故m＝.
设B(x1，y1)．
直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0.
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，
所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝
＝4，
那么△ABE的面积S＝4x0＋＋2≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.