2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(福建卷详解).docx

2022福建卷(理科数学)12022福建卷 复数z(32i)i的共轭复数z等于()A23iB23iC23iD23i1C解析由复数z(32i)i23i，得复数z的共轭复数z23i.22022福建卷 某空间几何体的正视图是三角形，那么该几何体不可能是()A圆柱B圆锥C四面体D三棱柱2A解析由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形32022福建卷 等差数列an的前n项和为Sn，假设a12，S312，那么a6等于()A8B10 C12D143C解析设等差数列an的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S332d12，解得d2，那么a6a1(61)d25212.4、2022福建卷 假设函数ylogax(a0，且a1)的图像如图11所示，那么以下函数图像正确的选项是()图11ABCD图124B解析由函数ylogax的图像过点(3，1)，得a3.选项A中的函数为y，那么其函数图像不正确；选项B中的函数为yx3，那么其函数图像正确；选项C中的函数为y(x)3，那么其函数图像不正确；选项D中的函数为ylog3(x)，那么其函数图像不正确图1352022福建卷 阅读如图13所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A18B20C21D405B解析输入S0，n1，第一次循环，S0213，n2；第二次循环，S32229，n3；第三次循环，S923320，n4，满足S15，结束循环，输出S20.6、2022福建卷 直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，那么“k1”是“OAB的面积为的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件6A解析由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d0时，令f(x)x21，那么f(x)在区间(0，)上是增函数，且函数值f(x)1；当x0时，f(x)cosx，那么f(x)在区间(，0上不是单调函数，且函数值f(x)1，1；函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为1，)82022福建卷 在以下向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(2，3)8B解析由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，应选B.9、2022福建卷 设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，那么P，Q两点间的最大距离是()A5B.C7D69D解析 设圆心为点C，那么圆x2(y6)22的圆心为C(0，6)，半径r.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，那么y1，即x1010y，|CQ|，当y0时，|CQ|有最大值5，那么P，Q两点间的最大距离为5r6.10、2022福建卷 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出假设干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a表示取出一个红球、而“ab那么表示把红球和蓝球都取出来依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5) D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)10A解析从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，那么其所有取法为1aa2a3a4a5；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1b5；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，那么其所有取法为1CcCc2Cc3Cc4Cc5(1c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5.112022福建卷 假设变量x，y满足约束条件那么z3xy的最小值为_111解析作出不等式组表示的平面区域(如下列图)，把z3xy变形为y3xz，那么当直线y3xz经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z3xy，得zmin1，即z3xy的最小值为1.122022福建卷 在ABC中，A60，AC4，BC2，那么ABC的面积等于_122解析由，得sinB1，B90，C180(AB)30，那么SABCACBCsinC42sin302，即ABC的面积等于2.132022福建卷 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是_(单位：元)13160解析设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4 m3，高为1 m得，另一边长为m.记容器的总造价为y元，那么y4202110802080202160(元)，当且仅当x，即x2时，等号成立因此，当x2时，y取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元图1414、2022福建卷 如图14，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，那么它落到阴影局部的概率为_14.解析因为函数ylnx的图像与函数yex的图像关于正方形的对角线所在直线yx对称，那么图中的两块阴影局部的面积为S2lnxdx2(xlnxx)12(elnee)(ln11)2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影局部的概率P.15、2022福建卷 假设集合a，b，c，d1，2，3，4，且以下四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的，那么符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_156解析假设正确，那么不正确，可得b1不正确，即b1，与a1矛盾，故不正确；假设正确，那么不正确，由不正确，得d4；由a1，b1，c2，得满足条件的有序数组为a3，b2，c1，d4或a2，b3，c1，d4.假设正确，那么不正确，由不正确，得d4；由不正确，得b1，那么满足条件的有序数组为a3，b1，c2，d4；假设正确，那么不正确，由不正确，得b1，由a1，c2，d4，得满足条件的有序数组为a2，b1，c4，d3或a3，b1，c4，d2或a4，b1，c3，d2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.16、2022福建卷 函数f(x)cosx(sinxcosx).(1)假设0，且sin，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间16解：方法一：(1)因为0，sin，所以cos.所以f().(2)因为f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.方法二：f(x)sinxcosxcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.(1)因为00，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E假设存在，求出双曲线E的方程；假设不存在，说明理由图1619解：方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，假设直线l与双曲线E有且只有一个公共点，那么|OC|a，|AB|4a.又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.假设存在满足条件的双曲线E，那么E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，那么C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|，得8，即m244(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法二：(1)同方法一(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1，同理得y2.设直线l与x轴相交于点C，那么C(t，0)由SOAB|OC|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m212或k2.由得(4k2)x22kmxm20，因为4k20，所以x1x2，又因为OAB的面积为8，所以|OA|OB|sinAOB8，又易知sinAOB，所以8，化简得x1x24.所以4，即m24(k24)由(1)得双曲线E的方程为1，由得(4k2)x22kmxm24a20.因为4k20时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x2cex.20解：方法一：(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln2.当xln2时，f(x)ln2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)eln22ln22ln4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，那么g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln2)2ln40，故g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x20时，x20时，x2cex.取x00，当x(x0，)时，恒有x2cex.假设0c1，要使不等式x2kx2成立而要使exkx2成立，那么只要xln(kx2)，只要x2lnxlnk成立令h(x)x2lnxlnk，那么h(x)1.所以当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)内单调递增取x016k16，所以h(x)在(x0，)内单调递增又h(x0)16k2ln(16k)lnk8(kln2)3(klnk)5k，易知klnk，kln2，5k0，所以h(x0)0.即存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x20时，exx2，所以exee，当xx0时，exx2，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)首先证明当x(0，)时，恒有x30时，x2ex，从而h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)h(0)10，即x3x0时，有x2x3ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.21、2022福建卷 ()选修42：矩阵与变换矩阵A的逆矩阵A1)(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量()解：(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且221130，所以A).(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1)是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2)是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量()选修44：坐标系与参数方程直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)假设直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围()解：(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.()选修45：不等式选讲定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)假设p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.()解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.