2022届高三第三次模拟考试理科数学试卷-答案.docx

广东省汕头市2017届高三第三次模拟考试理科数学试卷
答 案
一、选择题
1~5．DCBBC 6~10．AABCC 11~12．DA
二、填空题
13．
14．
15．2
16．134
三、解答题
17．解：（Ⅰ），
故，∴．
（Ⅱ）由正弦定理得，
由（Ⅰ）知，
∴，
∴或，
∴或．
18．（Ⅰ）证明：作交SD于点E，则，平面SAD，
连接AE，则四边形ABME为直角梯形作，垂足为F，则AFME为矩形．
设，则，，
，，
由，得，
解得，即，从而，
所以M为侧棱SC的中点．
（Ⅱ）解：，又，，
所以为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M为SC中点，
，，，故，．
取AM中点G，连接BG，取SA中点H，连接GH，则，，
由此知为二面角的平面角，
连接BH，在中，
,
所以．
所以二面角的余弦为．

19．解：（Ⅰ）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A，则事件A的概率为，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为，故，

即X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P

（Ⅱ）设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为，即，，…，，这个互斥事件的和事件，
则
n
0
1
2
3
4

1
∵，
∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于．
（Ⅲ）设该厂获利为万元，则的所有可能取值为：18，13，8，
,
,
,
即Y的分布列为：
Y
18
13
8
P

则，
故该厂获利的均值为．
20．解：（Ⅰ）将抛物线E： 代入圆M：（）的方程，
消去，整理得，①
E与M有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根，
由此得解得，
又，所以r的取值范围为．
（Ⅱ）设四个交点的坐标分别为，，，，
则直线AC、BD的方程分别为
，
解得点P的坐标为，
设，由及（Ⅰ）得．
由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积
则，
∴，
将，代入上式，并令，得
，
∴，
令，得，或（舍去）．
当时，；当时，；当时，，
故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为．
21．解：（Ⅰ）的定义域为，，
由于直线过定点，
设直线与曲线相切于点（且），
则，即，①
设，，则，
所以在上单调递增，
又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾．
所以，，直线都不是曲线的切线．
（Ⅱ），即，
令，，
则，使成立，即，
．
（ⅰ）当时，，在上为减函数，于是，
由得，满足，所以符合题意．
（ⅱ）当时，由及的单调性知在上为增函数，
① 所以，即．
若，即，则，所以在上为增函数，于是
，不合题意；
②若，即，则由，及的单调性知存在唯一，使，
且当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以，
由，得，这与矛盾，不合题意．
综上可知，k的取值范围为．
22．解：（Ⅰ）点P在直线上，理由如下：
直线l：，即，即，
所以直线的直角坐标方程为，易知点P在直线上．
（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的普通方程为，
直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得，∴，
根为，，∴，∴，故与异号，
∴，
∴，
∴．
23．解：（Ⅰ）依题意有，
若，则，∴，
若，则，∴，
若，则，无解．
综上所述，a的取值范围为．
（Ⅱ）由题意可知，当时，恒成立，
∴恒成立，
即，
当时恒成立，
所以．
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