2022届高三12月模拟考试理科数学试卷-答案.docx

广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷
答 案
一、选择题
（1）~（5）BDABA （6）~（10）CDCBB （11）~（12）DA
二、填空题
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）因为，，
由余弦定理得,即．……………………（2分）
所以．…………………………………………（4分）
由于，所以．…………………………………………（6分）
（Ⅱ）法1：由及，得，……………………（7分）
即，………………………………………………………………（8分）
解得或（舍去）．…………………………………………（9分）
由正弦定理得，…………………………………………（10分）
得．………………………………………（12分）
法2：由及正弦定理得，…………………………………………（7分）
得．…………………………………………（8分）
由于，则，
则．…………………………………………（9分）
由于，则．………………………………………（10分）
所以
．………………………………………（11分）

．……………………………………………………………（12分）
（18）解：
（Ⅰ），即，……………………（1分）
又由的概率分布列得，……………………（2分）
得，．…………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：

………………………………………………………………（5分）
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：

………………………………………………………………（6分）
所以．……………（7分）
即乙厂产品的等级系数的数学期望为．……………………………………………（8分）
（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于，价格为元/件，所以其性价比为，…………（9分）
因为乙厂产品的等级系数的期望等于，价格为元/件，所以其性价比为，…（10分）
据此，乙厂的产品更具可购买性．……………………………………………（12分）
（19）解：
（Ⅰ）因为是等边三角形，是的中点，
所以．…………………………………（1分）
因为平面，平面，
所以．…………………………………（2分）
因为，
所以平面．……………………（3分）
因为平面，
所以．……………………………（4分）
（Ⅱ）法1：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．
因为平面，
所以为直线与平面所成角．……………………………………（5分）
由题意得，即，…………………………………（6分）
从而．
不妨设，又，则，.…………………………（7分）
故，，，．……………………………（8分）
于是，，，，
设平面与平面的法向量分别为，
由，得，令，得，
所以．…………………………………（9分）
由，得，令，得，．
所以．…………………………………（10分）
所以．…………………………………（11分）
所以二面角的余弦值为．…………………………………（12分）
法2：因为平面，
所以为直线与平面所成角．…………………………………（5分）
由题意得，即，…………………………………（6分）
从而．
不妨设，又，
则，，．…………………………………（7分）
由于平面，平面，则．
取的中点，连接，则．
在中，，
在中，，
在中，，
取的中点，连接，，，
则，…………………………………（8分）
所以为二面角的平面角．…………………………………（9分）
在中，，
在中，，
在中，，
因为，…………………………………（10分）
所以．…………………………………（11分）
所以二面角的余弦值为．…………………………………（12分）
（20）解：
（Ⅰ）设圆的半径为，圆心的坐标为，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切．…………………………………（1分）
所以…………………………………（2分）
则．…………………………………（3分）
所以圆心的轨迹是以点，为焦点的椭圆，
且，，则．
所以曲线的方程为．…………………………………（4分）
（Ⅱ）设，，，直线的方程为，
由 可得，
则，．…………………………………（5分）
所以…………………………………（6分）

．…………………………………（7分）
因为，所以的面积等于的面积．…………………（8分）
点到直线的距离．……………………………（9分）
所以的面积.………（10分）
令，则，．
设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增．
所以当时，取得最小值，其值为．…………………………………（11分）
所以的面积的最大值为．…………………………………（12分）
说明：的面积．
（21）解：
（Ⅰ）函数的定义域为．
．………………………………………………………………（1分）
依题意得，，即……………………（3分）
所以，．………………………………………………………………（4分）
所以，．
当时，；当时，．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.………………（6分）
（Ⅱ）当a，时，．
等价于，
也等价于．………………………………………（7分）
不妨设，
设（）
则．…………………………………………………………（8分）
当时，，所以函数在上为增函数，
即，……………………（9分）
故当时，（当且仅当时取等号）．
令，则，…………………………………………（10分）
即（当且仅当时取等号），……………（11分）
综上所述，当a，时，（当且仅当时取等号）………（12分）
（22）解：
（Ⅰ）由消去得，……………………（1分）
所以直线的普通方程为．……………………（2分）
由，得，……………………（3分）
把，代入上式，得，
所以曲线C的直角坐标方程为．…………………………………………（5分）
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入，得，………………（6分）
设A，B两点对应的参数分别为，，
则，，………………………………………（7分）
所以．……（9分）
当时，的最小值为4．…………………………………………（10分）
（23）解：
（Ⅰ）由，得，即．……………………（1分）
当时，．…………………………………………………………（2分）
因为不等式的解集是
所以解得…………………………………………………………（3分）
当时，．…………………………………………………………（4分）
因为不等式的解集是
所以无解．…………………………………………………………（5分）
所以．
（Ⅱ）因为………………（7分）
所以要使存在实数解，只需．………………（8分）
解得或．………………………………………………………（9分）
所以实数的取值范围是．…………………………（10分）
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